高三数学回归教材训练答案(5)

当0

1. 210. (1) 设对任意x1,x2∈R,都有x1

2(4x1-4x2)4x14x2f(x1)-f(x2)=-=, xx2?4x12?4x2(2?41)(2?42)因为x10,2+4x2>0.所以f(x1)-f(x2)<0, f(x1)

44t4t2?4t41-t(2) 对任意t,f(t)+f(1-t)=+=+t==1, ttt1-t2 ?2?42?42?42?4所以对于任意t,f(t)+f(1-t)=1.

12011(3) 由(2)可知f+f=1,

20122012f

22010+f=1,…, 20122012所以f

122011100612011+f+…+f=1 005+f=1 005+=.

22012201220122012211. (1) g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,

?a?1,?g(2)?1,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故?解得?

b?0.g(3)?4,??(2) 由已知可得f(x)=g(|x|)=x2-2|x|+1为偶函数, 所以不等式f(log2k)>f(2)可化为|log2k|>2,解得k>4或0

1,故实数k的取值范围4

是0,

14∪(4,+∞). (3) 函数f(x)为[1,3]上的有界变差函数. 因为函数f(x)为[1,3]上的单调递增函数, 且对任意划分T:1=x0

?ni?1|f(xi)-f(xi-1)|=f(x1)-f(x0)+f(x2)-f(x1)++f(xn)-f(xn-1)=f(xn)-f(x0)=f(3)-f(1)=4,

所以存在常数M≥4,使得?ni?1|m(xi)-m(xi-1)|≤M恒成立,

所以M的最小值为4.

第9练 用导数研究函数的性质

1. 1e

2. (-∞,0) 3. 9 4. -1 5. [0,1]

6. ?ππ???3,2??

7. 2

…

?e2?8. ?,???

?3?9. (1) 函数f(x)的定义域为(0,+∞). 当a=-2e时,f'(x)=2x-2e2(x-e)(x?e)=, xx当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

x f'(x) f(x) (0,e) - 单调递减

所以f(x)的单调递减区间是(0,e);单调递增区间是(e,+∞),极小值是f(e)=0. (2) 由g(x)=x2+aln x+

2a2,得g'(x)=2x+-2, xxx2为区间[1,4]上的单调减函数,则g'(x)≤0在[1,4]上恒成x e 0 (e,+∞) + 单调递增 极小值 又函数g(x)=x2+aln x+立, 即不等式2x+

a22-2≤0在[1,4]上恒成立,即a≤-2x2在[1,4]上恒成立. xxx设φ(x)=

2-2x2,显然φ(x)在[1,4]上为减函数, x所以φ(x)的最小值为φ(4)=-

63?63?.所以实数a的取值范围是?-?,-?.

2?2?

10. (1) f(x)=ax3-4ax2+4ax,f'(x)=3ax2-8ax+4a.令f'(x)=0,得3ax2-8ax+4a=0. 因为a≠0,所以3x2-8x+4=0,所以x=

2或x=2. 3因为a>0,所以当x∈-∞,间为-∞,

2或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)的单调增区32或(2,+∞); 3当x∈

22,2时,f'(x)<0,所以函数f(x)的单调减区间为,2. 33(2) 因为当x∈-∞,

2时,f'(x)>0; 3当x∈

2,2时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0, 322时取得极大值,即a233所以函数f(x)在x=-22=32,解得a=27.

11. (1) 当a=1时,f(x)=

1+ln x-1,x∈(0,+∞), x所以f'(x)=-

11x-11+=,x∈(0,+∞).因此f'(2)=. x2xx241即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为.

4又f(2)=ln 2-

1, 2所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为

11y-ln 2-=(x-2), 24即x-4y+4ln 2-4=0.

(2) 因为f(x)=

a1x-aa+ln x-1,所以f'(x)=-2+=2.

xxxx令f'(x)=0,得x=a.

①若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值. ②若0

当x∈(a,e]时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,所以当x=a时,函数f(x)取得最小值ln a.

③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f'(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(e,+∞)上单调递增, 所以当x=e时,函数f(x)取得最小值

a. e综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当0

a. e第10练 数 列

1. 2 2. 6 3. 2 4. 15 5.

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