14.3(1)空间直线和平面的位置关系

14.3（1）空间直线和平面的位置关系 上海市南洋中学 刘小萍

一、教学内容分析

空间直线和平面的位置关系及其表示法是空间几何的语言基础，也是进行空间几何研究的起点.

14.3空间直线和平面的位置关系（1）是在学习了空间直线和直线的位置关系之后,进一步探索空间直线和平面的特殊位置关系之一 —— 直线和平面垂直.

课本通过观察旗杆是否直立在地面上的问题,要求学生能理解空间直线和平面垂直的含义及其表示法，归纳出空间直线和平面垂直的定理.

通过图14-18，要求学生会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系.

通过图14-1的长方体，要求能运用空间直线和平面垂直的定义及定理进行简单的推理，体会出几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性,

通过例1，要求学生能理解异面直线间的距离、点和平面的距离的概念，知道直线和平面的距离、平面和平面的距离的含义及其与点和平面的距离的转化关系，会在简单图形中进行有关距离的确定与计算.

空间直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是点、直线、平面和平面之间的距离以及直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.

二、教学目标设计

在通过观察和实验，探索直线和平面垂直的位置关系的过程中，理解空间直线和平面垂直的含义，会用文字语言、图形语言、符号语言表述这种位置关系，理解空间直线和平面垂直的定义及定理，体会几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性，发展空间想象力和逻辑思维能力，理解异面直线间的距离、点和平面的距离的概念，知道直线和平面的距离、平面和平面的距离的含义及其与点和平面的距离的转化关系，体会化归和转化的数学思想方法.

三、教学重点及难点

空间直线和平面垂直的定义、定理及其表示法，几何推理证明的思考方法，基本规则和严谨性，空间距离的确定与计算.

四、教学用具准备

投影仪，多媒体课件

五、教学流程设计

六、教学过程设计 一、情景引入

引例:简述下列问题的结论，并画图说明：

（1）直线a 平面 ，直线b a A，则b和 的位置关系如何？

（2）直线a 平面 ，直线b//a，则b和 的位置关系如何？

解：（1）b 平面 ,或b A；（2）b 平面 ,或b// .

[说明] （1）引导学生掌握空间直线与平面的各种位置关系，学会各

种位置关系的画法与表示方法.注意立体几何中，文字、符号语言与图形直观的互相转化.

（2）小结空间直线和平面的位置关系

直线在平面上---有无数个公共点 平行---没有公共点 直线和平面 直线不在平面上--- 相交---有且只有一个公共点 (直线在平面外)

[说明]同时用图形语言、符号语言、几何语言表述这些位置关系.

今天我们来探索空间直线和平面相交中的一种特殊位置关系 ——直线和平面垂直

二、学习新课

问题1：在日常生活中你见到最多的直线与平面垂直的情形是什么？请举例说明.

[说明]引导学生举出生活中常见的直线与平面垂直的例子，如旗杆与地面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，教室内直立的

墙角线和地面的位置关系等.

问题2： 结合对下列问题的思考，讨论能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线和这个平面垂直呢？

（1）如图1，阳光下直立于地面的旗杆AB与它

在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的

移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗?

（2）旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B

的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由

此得到什么结论？

（3）如图2，当旗杆AB倾斜时，还能保证AB

与地面上的任一直线都垂直吗？

[说明]（1）引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，

通过观察思考，感知直线与平面垂直的内涵.

（2）教师用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程，再引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆所在直线与地面内的任意一条直线都垂直.

（3）通过观察、思考与讨论，让学生感悟“一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直”是这条直线与平面垂直的本质内涵.

还可引导学生观察实例（如表示直线的笔与表示平面的桌面的位置关系）和几何模型（如棱锥、棱台的侧棱与底面的位置关系等），从中感知：只要平面外的直线不垂直于这个平面，平面内就有直线与平面外的这条直线不垂直，反之亦然.

（4）让学生归纳、概括出直线与平面垂直的定义.教师补充完善，同时给出直线与平面垂直的记法与画法.

定义：一般地，如果一条直线l与平面α上的任何直线都垂直，那么我们就说直线 l与平面α垂直（line l perpendicular to plane α），记作： l⊥α.直线l叫做平面α的垂线（perpendicular line），平面α叫做直线l的垂面．l与面α的交点叫做垂足.

画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与

表示平面的平行四边形的一边垂直，如图3.

辨析1：下列命题是否正确？为什么？ α 图3 P l

（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直.

（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平

面内的任一直线.

[说明]通过问题辨析，加深概念的理解.由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思.而（2）给出了直线与直线垂直的一种判定方法.

a 引导学生给出命题（2）的符号表示：b a b

问题3：通常定义可以作为判定的依据，那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便？为什么？如何改进？

[说明]感受用定义作判断不方便，引发学生探索判定定理的需要，体会有限与无限的辨证关系.

引导学生思考用定义作判断不方便的原因，再讨论平面内的直线减少到多少条才合适，先排除一条和两条平行的情形，对两条相交情形，可引导学生观察直立地面的棋杆与其在地

面的影子，还可进行如下实验.

实验：如图4，请同学们拿出准备好的一块（任

意）三角形的纸片，我们一起来做一个试验：

过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.

问题4：如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？由此你能得到什么结论？

[说明]通过折纸让学生发现当且仅当折痕娥AD是BC边上的高，即AD⊥BC时翻折后的折痕AD与桌面垂直.

引导学生发现折痕AD与桌面垂直的本质特征： AD是BC边上的A B D 图4 C

高时，无论怎样翻折，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD，同时CD、BD是两相交直线不变，这就是说，当AD垂直于桌面内的两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面所在的平面.

定理2：如果直线l与平面 上的两条相交直线a、b都垂直，那么直线l与平面 垂直.

a ,b ,a b O 用符号语言表示为： l l a,l b

辨析2：（1）下列命题是否正确？为什么？

如果一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，那么这条直线垂直于平行四边形所在的平面.

（2）如图5,若α内两条相交直 …… 此处隐藏：5786字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……