2012年高考模拟考试试题理科数学(一)

2012年咸阳市高考模拟考试试题（一）

理 科 数 学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中的横线上.

11.

1; 12. -1 ; 13.

1135或; 14. . 5412

15. （考生注意：只能从下列A，B，C三题中选做一题，如果多做，则按第一题评阅记分） A．2; B． ,3 ; C．2.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

【解析】（I） 因为 为向量a与b的夹角，所 [0, ]，由|a|=2，|b|=1,可得|a|2=4，

a b |a||b|cos . ………………3分

关于x的一元二次方程x2 |a|x a b 0有实根，则有

|a|2 4a b=4(1 2cos ) 0,得cos

3

2

1

，所以 , .………6分 2 3

（II）f( ) sin cos cos

2

=

1cos2 1sin2 () 222

1 sin2 cos2 sin(2 ) ………………9分 223

=

7 π

因为 ,π ，所以2 ,,所以sin((2 ) 1, 32333

所以，函数的最大值为

3

，最小值为-1. ………………12分

2

17．（本小题满分12分）

2

1211{a}(a d) a1(a1 3d) n1【解】（I）解：设等差数列的公差为d，由() .，得

a2a1a4

因为d 0，所以d a.所以an na. -----------------------------------6分 （II）解：Sn

an(n 1)1211

( )，所以A 1 1 1 1 2(1 1) ,因为n2Snann 1S1S2S3Snan 1

∵A2011 .

220112011

,∴a=2.------------------------------12分

a20122012

18．（本小题满分12分）本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应

用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

222

解:（Ⅰ）在图1中,

可得AC BC ,从而AC BC AB,故AC BC.

取AC中点O连结DO,则DO AC,又面ADC 面ABC,

面ADC 面ABC AC,DO 面ACD,从而OD 平面ABC. …………………4分

∴OD BC，又AC BC,AC OD O.

∴BC 平面ACD. （或由BC垂直AC结合面面垂直的性质得出BC垂直于面ACD也可以得满分） …………………………………………6分

（Ⅱ）建立空间直角坐标系O xyz如图所示,

则M

,C(

,D,

CM ,CD . ………………………………………………8分

设n1 (x,y,z)为面CDM的法向量,

y x n1 CM 0 0则 即,解得.

z x 0 n1 CD 0

令x 1,可得n1 ( 1,1,1).

又n2 (0,1,0)为面ACD的一个法向量，

n1 n2 ∴cos n1,n2

|n1||n2|∴二面角A CD

M.----------------------------------12分

19．（本小题满分12分）

2 【解】（I）从50名教师随机选出2名的方法数为C50 1225. ……3分

2222

选出2人来自同一校的方法数为C20 C15 C5 C10 350.

故2人来自同一校的概率为：P

3502

. ……6分 12257

2

11C153CC2015

（II）∵P( 0) 2 ，p( 1) ， 2

C3517C35

C238

．……9分 P( 2) 20 2

C35119

∴ 的分布列为

……10分

∴E

360381368 0 1 2 ． ……12分 171191191197

x2y2

20. （本小题满分13分）解：（1）由题意可设椭圆方程为2 2 1 a b 0 ,

ab

c , a 2,x2 a2 所以，椭圆方程为 y2 1.----------5分 则 故

4 2 1 1, b 1.

a2b2

（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0.

故可设直线l的方程为y kx m(m 0),P(x1,y1),Q(x2,y2),

y kx m,由 2 消去y得 2

x 4y 4 0,(1 4k2)x2 8kmx 4(m2 1) 0,

则 64k2b2 16(1 4k2b2)(b2 1) 16(4k2 m2 1) 0,

8km4(m2 1)

且x1 x2 ，x1x2=.

22

1 4k1 4k

故y1y2 (kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2.------------------8分 因为直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列，

y1y2k2x1x2 km(x1 x2) m2

k2, x1x2x1x2

即

8km

m2 0,又m 0, 2

1 4k

11

所以k2 ,即k .

42

由于直线OP,OQ的斜率存在,且 0,得0 m2 2且m2 1, 设d为O到直线l

的距离,|PQ|= k2|x1 x2| = k

2

,

64k2m2 16(m2 1)(1 4k2)4(1 k2)(4k2 m2 1)

.

1 4k21 4k2

则S oPQ

21m2 2 m22

d|PQ| m(2 m)≤=1. 22

等号成立的条件为m2 1。

因为m2 1，所以△OPQ面积的取值范围为 0,1 ---------------------13分

21．（本小题满分14分）

2a2

【解】（I）F(x) f(x) g(x) lnx 2(x 0)，

x

14a2x2 4a2

F'(x) 3 (x 0)，

xxx3

a 0,由F (x) 0 x (2a, )，

F(x)的单调递增区间为（2a, ）. -----------------------------------------------3分

（II

）H(x) f(x) lnx

2a

， x

H (x)

12a 1(x 0)， -------------------------------------------5分 xx2

111

因为2a x2 x, 又 x2 x ,故2a ，a .

448

1

所以实数a的最小值为. -------------------------------------------8分

8

(III) 若p(x)=x3 x2 m 的图象与q(x)

1323

x x2 m lnx2有三个不同的根， 332

1

32333

f(x2) lnx2的图象恰有三个不同交点，即22

312

亦即m lnx2 x3 x2 有三个不同的根． ------------------------------------10分

233

312

令G(x) lnx2 x3 x2 ，

233

32 x3 2x2 3 (x 1)(x2 3x 3)

则G (x) x 2x ．

xxx

当x 0时G (x) 0，所以G(x)单调递减，

且当x 0时，G(x) ，当x 时，G(x)

当0 x 1时G (x) 0；所以G(x)单调递增，且当x 0时，G(x) . 当x 1时，G (x) 0；所以G(x)单调递减，当x 时，G(x)

2

又 G(x)的极大值G(1) .

3

2312

所以，当 m 时，方程m lnx2 x3 x2 有三个不同的解. ----------------------14分

3233