【线性系统课件】线性二次型最优控制问题

5.7 线性二次型最优控制问题一.最优控制问题的一般提法(1)给出系统的状态方程 x f ( x , u ) (2)给出控制量 u 的限制条件 (3)明确始端条件: 给定 [ t 0 , x ( t 0 )] ,固定始端的控制问题; t0 固定, x ( t 0 ) 任意,自由始端的控制问题. (4)明确终端条件:类似于始端条件 (5)给出性能指标 tJ [ x ( t f )]

f

L [ x ( t ), u ( t ), t ] dt

t0

u (t ) ,使系统的状态轨线 x (t ) 任务:寻求一个最优控制 从初态 x ( t 0 ) 出发到达 x ( t f ) ,且沿此轨线,性能指标最 小,即 J ( u ( t )) min J ( u ( t ))u (t )

分类:对u(t)无约束-------泛函求极值问题,变分法 对u(t)有约束-------庞特里亚金极大值原理，动态规划 离散系统 本课程： 线性系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] LQ问题:二次型性能指标J 1 2 x ( t f ) Sx ( t f ) T

1 2

tf

[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dtT T

t0

S , Q : 半正定 , 对称矩阵 R : 正定 , 对称矩阵

求 u (t )

使

J ( u ( t )) min J ( u ( t ))u (t )

二. 有限时间LQ调节问题调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡态； 有限时间： t f 为有限值； LQ问题：二次型性能指标。 定理：系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] 使性能指标J 1 2 x ( t f ) Sx ( t f ) T

1 2

tf

[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dtT T

t0

为最小的输入，可由下面的状态反馈解给出 1 T u (t ) R B P (t ) x (t ) 其中 P(t)为满足终端条件 P ( t f ) S 的矩阵Riccati微分方 程的正半定对称解阵 P ( t ) P ( t ) A A P ( t ) Q P ( t ) BRT 1

B P (t )

T

此时，性能指标J的最小值为J min 1 2 x0 P (0) x0 , x0 0T

证明：该定理给出的是充分条件，实际上也是必要条件。

1 2

x (t f ) P (t f ) x (t f ) T

1 2

x (0) P (0) x (0)

T

1 2 1 1 2 1 2 1 2

tf

d dt

[ x P ( t ) x ] dt T T

T

0 tf

2

[ x P ( t ) x x P ( t ) x x P ( t ) x ] dt { x [ A P ( t ) P ( t ) P ( t ) A ] x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dtT T T T T

T

0 tf

0 tf 1

{ x Qx x P ( t ) BRT T T T

B P ( t ) x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dtT T T T 1 T T 1 T

0 tf

{ x Qx u Ru [ u R B P ( t ) x ] R [ u R B P ( t ) x ]} dt

0

J 1 2 可见

1 2T

x (t f ) P (t f ) x (t f ) T

1 2

tf

[ x Qx u Ru ]dtT T 1 T T 1 T

0

x (0) P (0 ) x (0)

1 2

tf

[ u R B P ( t ) x ] R [ u R B P ( t ) x ] dt

0

u (t ) R B P (t ) x (t )T

1

J

J ( u ( ))

1 2

x (0) P (0) x (0)

T

综上，有限调节时间LQ问题的综合步骤是： (1)A,B,P(tf)=S,Q,R代入Riccati非线性矩阵微分方程，解 出增

益矩阵P(t); (2)构造状态反馈 此时闭环状态方程为

u (t ) R

1

B P (t ) x (t )

T

x [ A BR x (0 ) x0

1

B P ( t )] x ,

T

u

B

-

AR 1

x

C

y

B P (t )

T

注意： --有限时间LQ调节问题的最优调节系统是状态反馈系统， 反馈矩阵是唯一的。 --对象系统虽然是定常的，但闭环系统却是时变的。 --Riccati矩阵微分方程是非线性微分方程，难求解析解，可 离散计算。 --前述的定理也适用时变线性系统。 二.无限时间LQ调节问题的最优解 提法： 线性系统 x Ax Bu , x ( 0 ) 性能指标J 1 2

x0

[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dtT T

0

Q , R : 正定 , 对称矩阵 ; u ( t ) 无约束

寻求最优控制，使初态转移到0,且J最小。 无限时间调节问题与有限时间调节问题提法上的区别： (1)此处对象为线性定常系统； (2)不考虑终端指标； (3){A,B}可控。

无限调节时间调节器可以看作是终端指标为0,终端时 间趋于无穷，受控系统是定常可控的有限调节时间调节 器问题。 Kalman指出，此时矩阵微分方程的解P(t),当 t f 时，P(t)的极限存在且唯一，即lim P ( t ) Pt

常阵P即为无限调节时间调节器的增益矩阵。

求解P的问题变为求解Riccati代数矩阵方程PA A P Q PBRT 1

B P 0T

的正定解。P正定(比较有限调节时间时P(t)半正定) 一旦求得P,即可得到u (t ) R 1

B Px ( t )

T

闭环系统为

x [ A BR

1

B P ]x

T

仍保持为定常系统。

对P的要求：最优系统必须是稳定的，即 [ A BR 1 B T P ] 的所有特征值均具负实部。 可以证明：以上方法构成的最优闭环系统必是大范围渐 近稳定的。

证明： 选取Lyapunov函数V ( x ) x PxT

x ( A BR T

1

B P)x T

T

V ( x ) x Px x P x x ( Q PBRT || x || 1

B P)x 0T

lim V ( x )

闭环系统全局渐近稳定

如果Q正定放宽为Q半正定，则 Q H H ,只要{A,H}能 观，则仍能保证闭环系统渐近稳定。T

例x x u J 求u 解: PA A P Q PBRT 1

1 2

( x u ) dt2 2

0

B P 0T

P P 1 P 02

P

2 1 1 T

u ( t ) R B Px ( t ) ( 2 1) x ( t )

5.8状态重构问题和状态观测器一. 状态重构问题系统的实际状态不可得。 重构状态：构造一系统，利用原系统可直接量测的变 量u和y作输入，产生输出 x ( t ) ,使 lim x ( t ) lim x ( t )t t

该人为构造的系统称为观测器。 状态观测器：全维，降维 函数观测器：重构状态的函数，如kx ( t ), lim w ( t ) lim kx ( t )t t

二. 全维状态观测器观测器的维数和受控系统的维数相同。 对象：x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t 0 y Cx

方法I:(本科已学过)要求{A,C}能观测。 构造和原系统相同的系统，在初值 x ( 0 ) x ( 0 ) 时， 通过 y ( t ) 和 y ( t ) 之差调整，使 lim x ( t ) lim x ( t ) t t 方法II:受控系统能控，能观 全维状态观测器可取为z Fz Gy Hu , z ( 0 ) z 0 x T 1

z

在F,G,H,T满足一定条件时，可作为原系统 的观测器。

结论1: x 0 , z 0 , u 任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测 器的充要条件是：(1) TA FT GC , T 非奇异 ( 2 ) H TB ( 3 ) i ( F ), i 1, 2 , , n 均具负实部

证明：

定义 e z Tx 则 e z T x Fz Gy Hu T ( Ax Bu ) Fz FTx FTx TAx GCx ( H TB ) u Fe

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