线性代数课后习题答案同济大学第四版

线性代数课后习题答案同济大学第四工程数学

第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

201(1)1 4 1 183

解

2011 4 1 183

2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 24 8 16 4 4

abc(2)bca

cab

解

abcbcacab

acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3

111(3)abc

a2b2c2

解

111abca2b2c2

bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a)

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xyx y

(4)yx yx

x yxyxyx y

解 yx yx

x yxy

x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3

2(x3 y3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)

n(n 1)

解 逆序数为

2

3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个)

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(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个)

(6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解 逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个)

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个)

(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解 含因子a11a23的项的一般形式为

( 1)ta11a23a3ra4s

其中rs是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和42 所以含因子a11a23的项分别是

( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式

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41 (1)0125120211254

2 072024c c4 1

23

122

03

2 104 1 10

02 122 ( 1)4 3 2 1441 解 0

1

1

7c4

7c30010

3 14

4 110c123 1422 c3 9cc0917010

142 0

1 23

24 (2)31 15

212103162 224 解 31 12121231c4 c

2

3420

50

6

2 2

1 1202r4 r

2

25210

36

0 3 12

114221

32400

rr420

4 121 31 21

320

0 0 000

(3) bdabacaebf cfcd de

ef

解 bdabbf accfcdae deef ad bbceb cc e

e

adfb 1111

1e 11 11

4abcde f

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a1(4) 001b 1001c 1001d

0r ar120 1d

01 aba0 1b100 1c100 1d

解

a

1001b 1001c 1

aba0c3 dc2 abaad2 1

( 1)( 1) 1c1 1c1 cd

0 1d0 10

5 证明:

( 1)( 1)3 2 abad abcd ab cd ad 1 11 cd

a2abb2

(1)2aa b2b (a b)3;

111

证明

a22a1

abb2c2 c1a2ab a2b2 a2a b2b 2ab a2b 2a

0011c3 c11

3 1

( 1)

ab a2

b ab2 a23

(b a)(b a)ab a (a b) 122b 2a

ax byay bzaz bxxyz

(2)ay bzaz bxax by (a3 b3)yzx;

az bxax byay bzzxy

证明

ax byay bzaz bx

ay bzaz bxax by

az bxax byay bz

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xay bzaz bxyay bzaz bx

ayaz bxax by bzaz bxax by

zax byay bzxax byay bzxay bzzyzaz bx

a2yaz bxx b2zxax by

zax byyxyay bzxyzyzx

a3yzx b3zxy

zxyxyzxyzxyz

a3yzx b3yzx

zxyzxyxyz

(a3 b3)yzx

zxy

a2b2

(3)2

cd2

(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2

(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2

(a 3)2(b 3)2

0; (c 3)2(d 3)2

证明

a2b2

2

cd2

(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2

(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2

(a 3)2(b 3)2

(c4 c3 c3 c2 c2 c1得) (c 3)2(d 3)2

a22b

c2

d22a 12b 12c 12d 12a 32b 32c 32d 32a 52b 5

(c c c c得) 2c 54332

2d 5

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a22b c2d22a 12b 12c 12d 122222

2 0 22

1a(4)a2

a4

1bb2b4

1cc2c4

1dd2d4

(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d); 证明

1aa2a4

1bb2b4

1cc2c4

1dd2d4

1110b ac ad a 0b(b a)c(c a)d(d a)0b2(b2 a2)c2(c2 a2)d2(d2 a2)

111

(b a)(c a)(d a)bcd

222

b(b a)c(c a)d(d a)

11

(b a)(c a)(d a)c bd b

c(c b)(c b a)d(d b)(d b a)

1 (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)c(c 1 b a)d(d b a)

=(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d)

x 10

0x 1(5)

000anan 1an 2

0000 x 1a2x a1

xn a1xn 1 an 1x an

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证明 用数学归纳法证明

x 1 当n 2时 D2 a x2 a1x a2 命题成立 x a12

假设对于(n 1)阶行列式命题成立 即 Dn 1 xn 1 a1 xn 2 an 2x an 1 则Dn按第一列展开 有

10

1 Dn xDn 1 an( 1)n 1 x

11

00

00 x 1

xD n 1 an xn a1xn 1 an 1x an 因此 对于n阶行列式命题成立

6 设n阶行列式D det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转 依次得

an1 ann

D1

a11 a1n

a1n ann

D2

a11 an1

ann a1n

D3

an1 a11

证明D1 D2 ( 1)

n(n 1)2

D

D3 D

证明 因为D det(aij) 所以

a11

an1 ann

a

D1 ( 1)n 1n1

a11 a1n

a21

a1nann a2n

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