高中数学复习专题讲座 圆锥曲线综合题

题目 高考要求

圆锥曲线的综合问题包括解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整

解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的

(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域

(2)当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值 典型题例示范讲解

例1已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦

(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？

(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？

命题意图本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力

知识依托弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识

错解分析 在判断d与R的关系时，x0

技巧与方法对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+

a2

与R=x0 a2

的大小

解(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,

圆k的半径R=|AK|=(x0 a)2 y0

2

2

2

2

x0 a2

2

∴|MN|=2R2 x0 2x0 a2 x0=2a(定值)

∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化

(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k (x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，

令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0，∴y1y2=y02－a2 ∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项 ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a

又|MN|=|y1－y2|=2a， ∴|y1|+|y2|=|y1－y2|

∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0 ∴0≤x0圆心k到抛物线准线距离d=x0+

a2

≤a,而圆k半径R=x0 a2≥a 2

且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交

x2y2

例2如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的

mm 1

直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为

A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式； (2)求f(m)的最值 本题主要考查利用解析几何的

知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合

知识依托直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值

错解分析 在第(1)问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点

技巧与方法第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简 第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法

解 (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1

∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0)

a2

故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m

c

∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)

y x 1

考虑方程组 x2,消去y得 (m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1) y2

1

mm 1

(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0 Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2

又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上

∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC

∴|AB|=|xB－xA|=2=(xB－xA)²,|CD|=2(xD－xC) ∴||AB|－|CD||=2|xB－xA+xD－xC|=2|(xB+xC)－(xA+xD)| 又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0 ∴||AB|－|CD||=|xB+xC|²2=|故f(m)=

2m22m

|²2= (2≤m≤5)

2m1 2m

22m

，m∈［2,5 2m

2222m

(2)由f(m)=，可知f(m)=

2m

2 m

10242111

又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈［］ ,

2593m

42102

故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5

93

例3舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹 设舰与动物均为静止的，动物信号的传

播速度为1千米/秒，炮弹的速度是

203g

千米/秒，其中g为重力加速度，3

若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？

命题意图考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力

知识依托线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程

错解分析 答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚

技巧与方法通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几

何问题来求解 对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程

解 取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系由题意可知，

A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，23)

由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位

置为P，则|PB|=|PC|于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为x

－3y+7=0

又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P

x2y2

在双曲线=1的右支上

45

直线与双曲线的交点为(8，53)，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10

据已知两点的斜率公式，得kPA=3,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发射炮弹的方位角应是北偏东30°

设发射炮弹的仰角是θ，初速度v0=

2v sin 20g10

，则0, 3gv0 cos

∴sin2θ=

10gv0

2

3

,∴仰角θ=30 2

x2y2

例4若椭圆2 2=1(a＞b＞0)与直线x+y=1在第一象限内有两个

ab

不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域

x y 1

解由方程组 x2y2消去y,整理得

1 2

b2 a

(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0 ①

则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内有两相异实根，令f(x)=(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2),则有

4a2 4a2(a2 b2)(1 b2) 0 a2 b2 122

f(0) a(1 b) 0 0 b 12222

f(1) b a a(1 b) 0

0 a 1 2

a 0 1 a b 022

a b a b 0

同时满足上述四个条件的点P(a,b) 1已知A、B、C三点在曲线y=x上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m

＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于( )

A 3

B9 4

5 2

D

3 2

92

)的最小值为v

D

2 设u,v∈R，且|u|≤2,v＞0,则(u－v)2+(2 u2

( )

A 4

B2

C8

22

3 A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，

使∠OPA=

,则椭圆离心率的范围是_________ 2

4一辆卡车高3米，宽 …… 此处隐藏：4875字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……