电子科大-材料力学-第五章重点习题

电子科大-材料力学

5.1、画出图示悬臂梁的剪力和弯矩图

qa2

剪力Fs图(b)

32qaqa2

qa

2qa

2

2

弯矩M图(c

)q

(d)

解：参见本例后面的解题讨论。利用载荷集度、剪力和弯矩之间的微积分关系，可以简捷画出剪力和弯矩图（通常由心算直接画图），具体画法如下：

。 （1） 根据载荷图（q图），画剪力图（Fs图） A端：q图向上集中力2qa。Fs图从零上跳2qa。

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AB段：q图中q=0。Fs图线的形状水平。

B截面：q图向下集中力qa。Fs图从2qa下跳qa到qa。

BC段：q图中q=常数<0，面积=-2qa；Fs图线的形状为斜下直线，从B截面

至C端a处D截面上，Fs值为零。

C 端： q图向上集中力qa（约束反力），Fs图上跳qa至零。

（2） 根据剪力图（Fs图）和载荷图（q图）和集中力偶，画弯矩图（M图）。

A 端：q图无集中力偶，Fs图从零开始。

AB段：q=0，Fs图面积=2qa2；M图直线斜上至2qa。 B截面：q图逆时针集中力偶qa2，M图下跳qa2。

1

BC段：q=常数<0，Fs图在D为零点，BD段Fs图面积=qa2，BC段Fs图

2

13

面积代数和为零；M图为凸抛物线。在D点极值= qa2+qa2=qa2，

22

在C点回到qa2。

C端：q图逆时针集中力偶（约束反力偶）之值为qa2，M下跳qa2至零。

解题讨论：

剪力和弯矩图的简捷画法

——剪力Fs(x)、弯矩M(x)和载荷集度q(x)之间的微分关系为

dFs(x)dM(x)d2M(x)

=q =Fs =q （1） 2

dxdxdx

积分关系为

x

x

Fs(x)=∫q(t)dt， M(x)=∫Fs(t)dt （2）

其中x轴向右，原点在梁的左端，载荷q向上为正，剪力以使保留段顺时针

转为正，弯矩以使保留段下凹为正（机械类教材规定，土木类教材的弯矩符号规定可能相反）。如图d，我们还将集中力F0理解为集度高作用面积小的均布力的极限，将集中力偶M0理解为一对相距很近、大值的相反集中力的

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极限（如图d）：

F0=limqδ1 M0=limFδ2 （3）

δ1→0

δ2→0

根据上述关系式的几何意义，可以发展剪力图和弯矩图的简捷画法，即根据微分式（1）确定剪力和弯矩图的线形，根据积分式（2）由面积关系确定剪力和弯矩在各段的改变量，根据式（3）确定集中力和集中力偶作用处剪力和弯矩的突变（跳跃）值。梁的外载包括主动载荷和约束反力（反力偶）。采用这个方法，通常仅需简单心算，就可以将剪力和弯矩图简单快捷画出。具体画法说明如下：

1、剪力图Fs

（1） 线形：Fs的斜率=q。常见情形：q=0，水平；q=常数>0，斜

上直线；q=常数<0，斜下直线。

（2） Fs在各段内变化量：载荷图该段q与坐标轴围成的面积（代

数量）。

（3） 突变值：在集中力（包括约束反力）作用处，Fs有与集中力等值同号的增量（突变或跳跃）。

2、弯矩图M

（1） 线形：M的斜率=Fs，凹凸性可由q确定。常见情形：q=0，

直线；q>0，凹曲线；q<0，凸曲线。可以形象记忆：弯矩图曲线面总是迎着分布载荷q的箭头，象伞面迎着雨一样。 （2） M在各段内变化量：剪力图Fs在该段与坐标轴围成的面积（代数量）。

（3） 突变值：在集中力偶（包括约束反力偶，见载荷图）作用处，

M有与外力偶等值的突变或跳跃。其中外力偶顺时针方向对应于M正的跳跃。 （4） 极值：Fs图通过零点处，M图出现极值，极值大小按上述方

法计算。

3、校核

画剪力图和弯矩图均从零开始，从左往右依次按上述方式作图，注意不要遗漏了端点及中间支座处的约束反力。根据梁的平衡要求，剪力和弯矩图在右端均须回到零，这个条件可作为校核。如果剪力图或弯矩图在右端不回到零值（在计及右端约束反力后），则肯定不正确，需要检查重画。

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5.2、画出图示组合梁的剪力和弯矩图。

解：将梁沿中间铰B处拆开，根据梁CD的平衡，可求得支座D的约束反力为

然后根据组合梁整体的平衡，求得固定端向上的约束力q0a和向下的力q0a。

逆时针约束反力偶q0a2。

将组合梁作为一个整体，利用q、Fs和M间的微积分关系绘制剪力和

弯矩图，如图（b）和（c）。

q0a

(a)

F

s(b)

0(c)

相关讨论：

1、 在求组合梁支座反力时，必须先将梁CD拆开，计算支座D的约束

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反力。

2、 由于在求支座反力时已利用了中间铰处弯矩为零的条件，故画剪力

和弯矩图时不须再考虑。中间铰处的弯矩图自动会成为零。这个关系可作为校核。

5.3、平面曲杆，轴线为平面曲线，画N、Fs、M图（M图画在受压侧） （列N、Fs、M方程时，采用曲线坐标，一般用极坐标）

F=qaC

M

qa

A

(b)

(a

)

32qa2

M2qaN

(c

)

(d)

32qa2

2qaFs(e)

72qa2

M(f)

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解： 直线段：

M(x)=

121

qx+Fx=qx2+qax 22

F(x)= qa qx N(x)=0 其中 0<x≤a

圆弧段：

M(φ)=

32

qa+2qa2sin 2

F( )= 2qacos N( )=2qasin 其中 0≤ ≤

π

2

5.4、试利用q、Fs和M之间的微分关系画图a所示刚架的剪力和弯矩图。 解：先由刚架整体平衡求出A、D两支座约束反力。然后将横梁ABC和竖梁BD

拆开，求出它们在B点的相互作用力（图b和c）。

根据ABC段（图b）和BD段（图c）的载荷图，分别利用q、Fs和M之间的微积分关系作剪力和弯矩图。其中竖梁BD将右方设定为“上”方。将图

b和c的剪力和弯矩图合成得刚架的剪力图（图d）和弯矩图（图e）。

x

(b)

x

(a)

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M

1q

0l2

Fs

1q0l2

1q0l8

1q0l

2

(c

)

q0

12

q0l

1q0l2

12q0l8

1q0l2

12q0l2

相关讨论：

Fs图(d)

M图(e)

1 画ABC段和BD段的载荷图（图b和c）时，本题解时将点B的外力偶

M放在ABC段。读者可自行验证，若放BD段。所画剪力和弯矩图完全相同。

2 作竖梁BD的剪力弯矩图时，本题将右方设定为“上”方。读者可验证，若将左方设定为“上”方，则剪力图符号相同，但图形会在另一侧，弯矩图符号变成正号，但图形仍在同一侧。故刚架剪力图需标注符号，弯矩图不标注符号。

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5.5、图a所示悬臂梁，由两块尺寸相同的木板胶结而成，梁长l=500mm，截面宽度b=50mm，高度h=80mm，木板许用正应力[σ]=10MPa，许用切应力[τ]=1/3MPa。

（1）试求悬臂梁端点载荷F的许用值

（2）若此梁由三块木板胶结而成，截面宽b=50mm，中间一块高hc=50mm，

上下两块相同，高均为15mm，许用载荷又为多少？

(a)(b)

y

解：（1）梁内最大 …… 此处隐藏：4257字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……