常微分方程习题 (1)

习题 2.5

1. 求解下列方程的解

dycosx=1 dx

dy解：移项得，cosx=1-ysinx dx

dysinx1两边同除cosx得=—y+ dxcosxcosx（1） ysinx+

所以，y=e 1d(cosx)

cosx 1（ ecosx1d(cosx)cosxdx+c）

y=cosx((

12)dx+c) cosx2 y=cosx(secxdx+c)

y=cosx(tanx+c)

所以 y=sinx+cosxc为方程的通解

(2)ydx-xdy=x2ydy

解：两边同除x2得，ydx xdy=ydy x2

yy2

则d（）=d（） x2

y2y =c为方程的通解。 所以，2x

（3）

dy

解：两边同乘以e得，edx=4sinx-ey yydy=4e-ysinx-1 dx

d(ey)

所以=4sinx-ey dx

令u=ey得，

u=e 1dxdu 4sinx u dxdx (4sinxe dx+c)

x u=e-x(4sinxedx+c)

xxxx 又因为4sinxedx=4sinxde=4sinxex-4edsinx=4sinxex-4cosxedx=4sinxex-4

xxxxxxxcosxdeesinxe=4sinxe-4ecosx+4d（cosx）=4sinxe-4ecosx-4dx

x所以4sinxedx=2exsinx-2excosx（分步积分法）

即ey=e-x（2exsinx-2excosx+c）所以ey=2（sinx-cosx）+ce-x为方程的通解。

（4）dyy= dxx xy

解：分子分母同除x得，dy dxy1 y

x

令u=ydyduduu x u,代入原方程得，x，则y=ux,由此+u= dxdxdxx1 duu= dx1 u化简得，x

当uu≠0时，1 u1du=dx xu（11 )du dx xuuu

3

21（u11 )du dx ux

2

2

1 lnu lnx c1 lnx lnu c1 11 lny ( c1) 22111x1x1c1 c 则 lny c 即 lny c， ( lny c)2 22y2y2u

1lny c)2 2

x

yxy令-即x=y（-经验证，y=0也是方程的解。 （5）（xye+y2）dx-x2edy=0

dx 解：原方程可写为dyx2ex

yxy=xx()2eyyxe 1yxy（分子分母同除y2） xye y2

令u=xdxdu，所以x=uy，对y求导得， y u ydydy

duu2eu

即 y u udyue 1

du u1 u× dyue 1y

11ueu 11将上述分离变量，可得，-du dy，即-eudu-du=dy uyuy

两边积分得，-e-lnu lny c，c为任意常数 u整理得，lnuy eu c即lnx+e=c为方程的通解。

（6）(xy+1)ydx-xdy=0 解：由题意可知，xy N M 1 2xy 1， x y

M N 2 ydy1 y x2所以=-（y≠0），从而求得方程的积分因子 =e=2 Myy

两边同乘以积分因子得，xy 1xdx 2dy 0 yy

化简得，xdx+1x1ydx xdydx 2dy 0,即d(x2) 0 2y2yy

12xx2xd(x) d() 0,所以 c为方程的通解。 2y2y

经验证，y=0也为方程的解。

（7）(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 解：原方程可化为dy 2x 2y 1 2(x y) 1 = x y 2dxx y 2

此时，a1b1dudy 1 2，则令u=x+y,所以dxdxa2b2

即du 2u 12 u 1 du dx ，dxu 2u 1

2udu du dx 1 u1 u

21 u 1du du dx 1 u1 u

21du du du dx 1 u1 u

2两边积分得， ln(1+u)-u+ln u=x+c1

ln(1+u)=x+u+c1即（1+u）=eee1令e1=c得，（1+u）=ce

所以方程的通解为（x+y+1）=ce3（2x+y）33xucc3x+u

dyyy2

3 （8）dxxx

解：dy11 y 3y2（伯努利方程） dxxx

11( 2)dy( 2) y( 1) 3 两边乘以y（y≠0）得，ydxxx

dzdy（-1） y( 2)令z=y，从而，，则此伯努利方程可化为 dxdx

dzz1 3（一阶非齐次线性微分方程） dxxx

利用公式可得，z=e xdx11 xdx( 3edx c) x1

z=11( 2dx c) xx

1cc11 ,所以为方程的通解。 22xxxyx z=

经验证，y=0也为方程的解。

（9）dy 3y x 2 dx

3dx解：由题意可知，此方程为一阶非齐次线性微分方程。 所以利用公式可得，y=e

y=e((x 2)e 3dxdx c) 3x((x 2)e( 3x)dx c)

( 3x)dx的原函数) y=e3x(xe( 3x)dx 2e( 3x)dx c)(利用分步积分法求xe

1( 3x)1( 3x)2( 3x)xe e e c) 393

153x所以y=-x ce为原方程的通解。 39

dydy 1 ()2 （10）xdxdxy=e( 3x

解：令p dy1，则xp 1 (p)2即x p dxp

dxdp1dp11dp可得 (1 2) 2dydypdyppdy

所以，dy=（p-1)dp p

y=12p lnp c 2

1 x p(p 0) p即方程的通解为 1 y p2 lnp c 2

（11）dyx y 1 2dxx y 3

2解：方程可化为（x-y+1）dx=（x+y+3）dy

M N 1 故该方程为恰当微分方程，有 y x

xdx-ydx+dx-xdy-ydy-3dy=0

2(x+1)dx-(y+3)dy-ydx-xdy=0 2

121x x) d(y3 3y) d(xy) 0 23

1213 所以x x y 3y xy 0为方程的通解。 23

ydy 1) xex （12）e(dxd(

解：方程两边同乘以e得， y

dy 1 xex y dx

令u=x+y，可得

即dudy 1 dxdxdu u xeu（eu>0），利用变量分离得，edu xdx dx

-u12两边同时积分得，-e=x+c1 2

1 (x y) x2 c为方程的通解。 所以e2

（13）(x+y)dx-2xydy=0 解：由题意可知，22 N M 2y 2y， x y

M N 2 y x21 xdx=-，从而求得方程的一个积分因子为e 2 Nxx

y22ydy 0 方程两边同时乘以积分因子得，dx+2dx xx

y2

dx d( ) 0 x

所以，x-y=xc为方程的通解。

（14）22dy x y 1 dx

dx dx解:由题意可知，该方程为一阶非齐次线性微分方程。 利用公式可得，y=e ((x 1)e dx c)

xx x y=e((x 1)edx c)（利用分步积分法求xedx得积分）

y=e( xe

xx x e x e x c) y=-x-2+ec

x 所以x+y+2=ec为方程的通解。

dyy ex （15）dxx

ydydu x u ，则y=ux，dxdxx

du u eu u 所以，xdx

1e udu dx，两边同时积分得，-e-u=lnx c1 x解：令u=y

所以e y

x lnx c为方程的通解。

dy 1 2e y dx

y（16）（x+1）y解：两边同时乘以e得，e(x 1)

ydy ey 2 dx 令u e，则有（x+1）

du u 2 dx11du dx 2 u1 x

-ln2 u ln x c1 y ln2 e 2x xey c1=0

2 ey 2x xey c1 1

所以（x+1）e=2x+c为方程的通解。

2（17）（x-y）dx+y（1+x）dy=0

解：由题意可知，y N M y 2y , x y

M N 3 dx3 y x1 ，从而求得方程的一个积分因子为e1 x 3N1 x(1 x)

xy2y两边同时乘以积分因子得，dx dx dy 0 (1 x)3(1 x)3(1 x)2

11y2

两边同时积分得，d( ) d() 0 222(1 x)1 x2(1 x)

1 y21即 c1，经化简得，y2=2x+1+2c1（1+x）2 22(1 x)1 x

所以y=c（1+x）+2x+1为方程的通解。

（18）4xydx 2(xy 1)dy 0 解：由题意可知，22322 N M 6x2y 8x2y， x y

M N 11 1 2ydy y x ，从而求得方程的一个积分因子为e y2= M2y

两边同时乘以y232 12得，4x2ydx (2x3y 2y12 1

23212 12)dy 0 即4xydx 2xydy 2y

33dy 143两边同时积分得，d(xy2) d(4y2) 3

43所以xy2 4y2 c1 3

经化简，xy 3y c为方程的通解。 3321231

dy2dy) 2y() 4x 0 dxdx

dy2解：令p ，则xp-2yp+4x=0 dx（19）x(

即y 2pdy2dp2p1dpx x，所以 2x x p2dxp22dxpdx

11dp dx px

p c即p cx x经化简得，lnp lnx c1经化简可得

4 p24 c2x2p2yp2 又因为x (4 p 0)，所以y 2c2cc4 p2

2当4 p 0时，p 2可知y 2x也为方程的解

22所以2cy 4 cx;y 2x为方程的通解。

（20）y 1 (