数学模型(姜启源)_第八章_离散模型

第八章

离散模型

8.1 层次分析模型 8.2 循环比赛的名次

8.3 社会经济系统的冲量过程

8.4 效益的合理分配

y

离散模型

离散模型：差分方程（第7章）、

整数规划（第4章）、图论、对策 论、网络流、… … 分析社会经济系统的有力工具

只用到代数、集合及图论（少许）

的知识

8.1 层次分析模型

背 景

日常工作、生活中的决策问题

涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化

Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP——一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法

一. 层次分析法的基本步骤

例. 选择旅游地

目标层

如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.

O(选择旅游地)

准则层

C1 景色

C2 费用

C3 居住

C4 饮食

C5 旅途

方案层

P1 桂林

P2 黄山

P3 北戴河

―选择旅游地”思维过程的归 纳 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。

通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。

层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量

元素之间两两对比，对比采用相对尺度

设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性

Ci : C j aij

选 择 旅 游 地

1 2 A 1/ 4 1/ 3 1/ 3

1 A (aij ) n n , aij 0, a ji aij

1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3

3 5 5 A~成对比较阵 1 / 2 1 / 3 A是正互反阵 1 1 1 1

要由A确定C1,… , Cn对O的权向量

成对比较阵和权向量 成对比较的不一致情况

a12 1 / 2 (C1 : C2 )

a13 4 (C1 : C3 )

一致比较

1 A 2

1/ 2 1

4 7 不一致

a23 8 (C2 : C3 )

w1 w 1 w2 A w1 wn w1 w1 w2 w2 w2 wn w2 w1 wn w2 wn wn wn

允许不一致，但要确定不一致的允许范围

考察完全一致的情况

W ( 1) w1 , w2 , wn

令aij wi / w j

w ( w1 , w2 , wn )T ~ 权向量

成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况

满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2, , n 的正互反阵A称一致阵，如 一致阵 性质

w1 w 1 w2 A w1 wn w1

w1 w2 w2 w2 wn w2

w1 wn w2 wn wn wn

A的秩为1，A的唯一非零特征根为n A的任一