高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.3知识点总结含同

高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用知识点总结含同步练习及答案

高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章导数及其应用 1.3导数在研究函数中的应用

一、学习任务 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 2.了解函数的极大(小)值、最大(小)值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大(小)值，以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值.

二、知识清单利用导数研究函数的单调性导数与函数的图象利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值

三、知识讲解1.利用导数研究函数的单调性描述：一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 (a, b)内，如果 f′ (x)> 0,那么函数 y= f (x)在这个区间内单调递增；如果 f′ (x)< 0,那么函数 y= f (x)在这个区间内单调递减.注：在 (a, b)内可导的函数 f (x)在 (a, b)上递增(或递减)的充要条件是 f′ (x) 0 (或 f′ (x) 0 ),x∈ (a, b)恒成立，且 f′ (x)在 (a, b)的任意子区间内都不恒等于 0 .例题：求下列函数的单调区间： (1)f (x)= x 3 3x 2 9x+ 5;(2)f (x)= x ln x;

1 3 x x2+ 2x+ 1 . 3解：(1)函数的定义域为 R.(3)f (x)=

f′ (x)= 3x2 6x 9= 3(x 3)(x+ 1),令 f′ (x)> 0,解得

x< 1或x> 3,令 f′ (x)< 0,解得

1< x< 3.所以 f (x)的单增区间为 ( ∞, 1),(3,+∞);单减区间为 ( 1, 3) .

f (x)

(0,+∞)

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( ) ( ∞, 1) (3,+∞) (2)f (x)的定义域为 (0,+∞). f′ (x)= 1 令 f′ (x)> 0,解得

( 1, 3) 1 x 1=, x x

x> 1;令 f′ (x)< 0,解得

0< x< 1.所以 f (x)的单增区间为 (1,+∞),单减区间为 (0, 1). (3)f (x)的定义域为 R.

f′ (x)= x2 2x+ 2= (x 1)2+ 1, f′ (x)> 0在 R上恒成立，所以 f (x)在 R上恒增.若函数 f (x)= x 3 3ax 2 2x+ 5在 (0, 1)内单调递减，求实数 a的取值范围.解：求导，得

f′ (x)= 3x2 6ax 2,因为 f (x)在 (0, 1)内单调递减，所以不等式 3x2 6ax 2 0在 (0, 1)内恒成立，即

a 令 g(x)=

1 1 x , 2 3x

1 1,则 x 2 3x g′ (x)= 1 1+> 0, 2 3x2 1 1 1 =, 2 3 6

所以 g(x)在 (0, 1)内是增函数，且

g(x)< g(1)=所以 a

1 . 6

设函数f (x)= xekx (k≠ 0). (1)求曲线 y= f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程； (2)求函数 f (x)的单调区间.解：(1)因为 f′ (x)= ekx (kx+ 1),所以 f′ (0)= 1,又 f (0)= 0,所以曲线 y= f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程为 y= x. (2)令

f′ (x)= (kx+ 1)ekx= 0,得

x≠

1 (k≠ 0). k

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若 k> 0,则当 x∈ ( ∞,

1,+∞)时，f′ (x)> 0

,函数 f (x)单调递增； k 1 1若 k< 0,则当 x∈ ( ∞, )时，f′ (x)> 0,函数 f (x)单调递增；当 x∈ ( ,+∞) k k时，f′ (x)< 0,函数 f (x)单调递减. x∈ (

1 )时，f′ (x)< 0,函数 f (x)单调递减；当 k

2.利用导数求函数的极值描述：函数的极值定义已知函数 y= f (x),设 x 0是定义域 (a, b)内任一点，如果对 x0附近的所有点 x,都有 f (x)< f (x0 )成立，则称函数 f (x)在点 x0处取得极大值，记作

y极大= f (x0 ).并把 x 0称为函数 f (x)的一个极大值点.如果在 x 0附近都有 f (x)> f (x0 )成立，则称函数 f (x)在点 x0处取得极小值，记作

y极小= f (x0 ).并把 x 0称为函数 f (x)的一个极小值点.极大值与极小值统称为极值(extreme value).极大值点与极小值点统称为极值点.注：可导函数 f (x)在点 x 0取得极值的充分必要条件是 f′ (x0 )= 0,且在 x0左侧与右侧， f′ (x)的符号不同.函数极值的判定设函数 f (x)在 x 0处连续，判别 f (x0 )是极大(小)值的方法是： (1)如果在 x 0两侧 f′ (x)符号相同，则 x0不是 f (x)的极值点. (2)如果在 x 0附近的左侧 f′ (x)> 0,右侧 f′ (x)< 0,那么，f (x 0 )是极大值. (3)如果在 x 0附近左侧 f′ (x)< 0,右侧 f′ (x)> 0,那么，f′ (x0 )是极小值.求可导函数极值的步骤 (1)求导数 f′ (x); (2)求方程 f′ (x)= 0的根； (3)检查 f′ (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x)在这个根处取得极小值.例题：函数 f (x)的定义域为开区间 (a, b),其导函数 f′ (x)则函数 f (x)在开区间 (a, b)内有______个极大值点.在 (a, b)内的图象如图所示，

解：1极大值点 x 0,首先满足 f′ (x 0 )= 0,其次，当 x< x0时，f′ (x)> 0,当 x> x0时， f′ (x)< 0 .

y=

3

3

2

9x+ 5

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求函数 y= x 3 3x 2 9x+ 5的极值.解：y′= 3x 2 6x 9,令 y′= 0,即 3x2 6x 9= 0,解得 x1= 1,x2= 3.当 x变化时，y′,y的变化情况如下表：

x y y

′

( ∞, 1) 1+ 0↗极大值

( 1, 3) ↘

3 0极小值

(3,+∞)+↗

所以，当 x= 1时，函数 y= f (x)有极大值，且 f ( 1)= 10;当 x= 3时，函数 y= f (x)有极小值，且 f (3)= 22 .已知函数 f (x)= x 3 3ax 2+ 2bx在点 x= 1处有极小值 1,试确定 a,b的值.解：由已知得 f (1)= 1,f′ (1)= 0.求导得

f′ (x)= 3x2 6ax+ 2b,所以

{解得 a=

f (1)= 1 3a+ 2b= 1, f′ (1)= 3 6a+ 2b= 0.

1 1,b= .代入检验，符合题意. 3 2

已知 f (x)= ax 3+ 3x 2 x+ 1在 R上无极值

点，求 a的取值范围.解：

f′ (x)= 3ax2+ 6x 1,若 f (x)在 R上无极值点，则 f (x)在 R上恒增或恒减，所以 f′ (x) 0或 f′ (x) 0在 R上恒成立.当 a= 0时，f′ (x)= 6x 1,在 R上 f′ (x)有正有负，不符题意；当 a≠ 0时，f′ (x)为二次函数，令f′ (x)中

Δ= 36+ 12a 0,解得 a 3,所以 a的取值范围为 ( ∞, 3].已知函数 f (x)= x a ln x(a∈ R). (1)当 a= 2时，求曲线 y= f (x)在点 A(1, f (1))处的切线方程； (2)求函数 f (x)的极值.解：函数 f (x)定义域为 (0,+∞),f′ (x)= 1 (1)当 a= 2时，

a . x

f (x)= x 2 ln x, f′ (x)= 1

2 (x> 0), x

因而 f (1)= 1,f′ (1)= 1,所以曲线 y= f (x)在点 A(1, f (1))处的切线方程为

y 1= (x 1),

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即

x+ y 2= 0. a x a=, x> 0知： x x①当 a 0时，f′ (x)> 0,函数 f (x)为 (0,+∞)上增函数，函数 f (x)无极值；②当 a> 0时，由 f′ (x)= 0,解得 x= a.又当x∈ (0, a)时，f′ (x)< 0;当 x∈ (a,+∞)时，f′ (x)> 0,从而函数 f (x)在 x= a处取得极小值，且极小值为 f (a)= a a ln a,无极(2)由 f′ (x)= 1 大值.综上，当 a 0时，函数 f (x)无极值；当 a> 0时，函数 f (x)在 x= a处取得极小值 a ln a,无极大值.

3.利用导数求函数的最值描述：一般地，求函数 y= f (x)在[a, b]上的最大值与 …… 此处隐藏：5561字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……