【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第13章 选

第十三章 选修4－5 第二节

一、选择题

1．若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y≥－2，则( ) A．x>0，y>0 C．x>0，y<0 [答案] A

1

[解析] x，y异号时，显然与xy>1矛盾，所以可排除C、D．假设x<0，y<0，则x<y1

∴x＋y<y＋≤－2与x＋y≥－2矛盾，故假设不成立．

y又xy≠0，∴x>0，y>0.

2．已知x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，则M与N的大小关系是( ) A．M≥N C．M＝N [答案] A

[解析] M－N＝x2＋y2＋1－(x＋y＋xy) 1

＝x2＋y2－2xy)＋(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)] 21

＝x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2]≥0.故M≥N. 2

116x

3．(2014·南昌第一次模拟)若x>1，则函数y＝x( )

xx＋1A．16 C．4 [答案] B

116x116

[解析] y＝x＋＋＝x＋＋216＝8，当且仅当x＝2＋3时等号成立．

xx＋1x1

x＋x二、填空题

11

4．若<<0，则下列四个结论：

ab

baa2

①|a|>|b|；②a＋b<ab；③＋；④<2a－B．

abb其中正确的是________． [答案] ②③④

[解析] 取特殊值a＝－1，b＝－2，

B．x<0，y<0 D．x<0，y>0

B．M≤N D．不能确定

B．8

D．非上述情况

代入验证得②③④正确．

s m＋n 2s

5．若T1＝，T2＝，则当s，m，n∈R＋时，T1与T2的大小为________．

2mnm＋n[答案] T1≤T2

s m＋n 4nm－ m＋n 2－s m－n 22s

[解析] 因为s＝0.

2mnm＋n2mn m＋n 2mn m＋n 所以T1≤T2.

1

6．设0<x<1，则a2x，b＝1＋x，c________．

1－x[答案] c

[解析] 由a2＝2x，b2＝1＋x2＋2x>a2，a>0，b>0， 得b>A．

1－ 1－x2 1x2

又c－b＝(1＋x)＝＝，

1－x1－x1－x得c>b，知c最大． 三、解答题

11

7．已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y，

36求证：|y|<

5

18

[解析] 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)| ≤2|x＋y|＋|2x－y|，

11

由题设知|x＋y|<，|2x－y|<，

362155

从而3|y|<＋|y|<.

36618

11

8．(2014·新课标Ⅰ)若a>0，b>0＝ab

ab(1)求a3＋b3的最小值；

(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．

112

[解析] (1)≥ab≥2，且当a＝b2时等号成立．

abab故a3＋b3≥2ab≥42，且当a＝b＝2时等号成立． 所以a3＋b3的最小值为2. (2)由(1)知，2a＋3b≥ab≥3.

由于43>6，从而不存在a，b，使得2a

＋3b＝6.

一、选择题

1．已知a>0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是( )

A．M≥N C．M≤N [答案] B

[解析] 取两组数：a，a＋1，a＋2与a2，(a＋1)2，(a＋2)2，显然a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3是顺序和；而a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2是乱序和，由排序不等式易知此题中，“顺序和”大于“乱序和”．故应选B．

2．若长方体从一个顶点出发的三条棱长之和为3，则其对角线的最小值为( ) A．3 1C．

3[答案] B

[解析] 不妨设长方体同一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则a＋b＋c＝3，其对角线长la＋b＋c≥故选B．

t＋2t

3．(2015·黄冈模拟)若不等式a≤在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是( )

tt＋91

A．[，1]

614C．[，]

613[答案] B

1a≥，

9t＋t[解析] 由已知

11a≤＋22，

tt

2

B．[，1]

131

D．[，2]

6

1

a＋b＋c 2，当且仅当a＝b＝c＝1时，对角线长取得最小值，3

B．3 D．

33B．M>N D．M<N

对任意t∈(0,2]恒成立，

1

a≥，

9maxt＋t于是只要当t∈(0,2]时，

11

a≤2 2]min，

tt

91113

记f(t)＝t＋，g(t)＝＋2()2，可知两者都在(0,2]上的单调递减，f(t)min＝f(2)＝g(t)min

ttt2＝g(2)＝1，

2

所以a∈[，1]，选B．

13二、填空题

x＋yxy

4．设x＞0，y＞0，M＝N＝＋M、N的大小关系是________．

2＋x＋y2＋x2＋y[答案] M<N

x＋yxyxy

[解析] N＝＝M.

2＋x2＋y2＋x＋y2＋x＋y2＋x＋y5．若a，b∈R＋，且a≠b，M＝[答案] M>N [解析] ∵a≠b，∴∴∴

ab

>2，＋ab， ab

，Nab，则M、N的大小关系为________． ba

ab

baa＋2b. baa1

ab.即M>N. ba

6．(2014·陕西高考)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m＋n的最小值为________．

[答案]

[解析] 解法1：在平面直角坐标系aob中，由条件知直线ma＋nb＝5与圆a2＋b2＝5有公共点，

∴

5≤5，∴m＋n≥， m＋n∴m＋n的最小值为5.

解法2：由柯西不等式：a＋bm＋n≥ma＋nb， ∴m＋n≥三、解答题

7．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值；

111＋

(2)若a，b，c∈R，且＋m.

a2b3c求证：a＋2b＋3c≥9.

[分析] (1)应用绝对值不等式的解法确定m的值； (2)利用柯西不等式证明．

[解析] (1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，

5

＝5.

由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.

111＋

(2)证法一：由(1)＋1，又a，b，c∈R，

a2b3c

1112ba3ca3c2b

a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋)＝1＋1＋1＋＋＋≥3＋2＋2＋2

a2b3ca2ba3c2b3c＝9.

111＋

证法二：由(1)＋＝1，又a，b，c∈R，

a2b3c由柯西不等式得

111

a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(a2b3c111

≥a2b3c2＝9.

a2bc

2

8．(2014·广东高考)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S2n－(n＋n－

3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式；

1111(3)证明：对一切正整数n，有＋ ＋.

a1 a1＋1 a2 a2＋1 an an＋1 3

2

[解析] (1)令n＝1得：S1－(－1)S1－3×2＝0，

即S21＋S1－6＝0，∴(S1＋3)(S1－2)＝0， ∵S1>0，∴S1＝2，即a1＝2.

22(2)由S2n－(n＋n－3)Sn－3(n＋n)＝0，得：

(Sn＋3)[Sn－(n2＋n)]＝0，

∵an>0(n∈N*)，Sn>0，从而Sn＋3>0，∴Sn＝n2＋n， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n， 又a1＝2＝2×1，∴an＝2n(n∈N*)．

kk313(3)当k∈N*时，k2＋>k2＝(k－)(k＋)，

221644∴

111111

1413ak ak＋1 2k 2k＋1 4

k k＋ k－ k＋

244

11

＝411 k－·[ k＋1 44111

＝[] 411k－ k＋1 －44

∴

111

＋ ＋a1 a1＋1 a2 a2＋1 an an＋1

1111111111－)＋()＋ ＋＝(41111114111－2－2－3－n－ n＋1 1－ n＋1 －

44444444111

＝34n＋33