1.6 极限存在准则 两个重要极限

第六节 极限存在准则 两个重要极限本节将给出两个在后面求导数时经常要用到 的重要的极限公式：sin x lim 1 x 0 x 1 x lim(1 ) e x x

为此先介绍判定极限存在的准则.

1.夹逼准则准则Ⅰ 如果数列 xn , yn 及 z n 满足下列条件： (1) yn xn zn (n 1, 2,3, ), (2) lim yn a, lim zn a ,n n

那么数列 xn 的极限存在，且 lim xn a.n

●上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

准则Iˊ 如果(1)当 x U ( x , r ) (或 x M )时，g ( x) f ( x) h( x) (2) lim g ( x) A, lim h( x) A,x x0 ( x ) x x0 ( x )

那么 lim f ( x) 存在，且等于A.x x0 ( x )

注：利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn , zn 或 g ( x), h( x), 并且它们的极限容易求出 .例1 求 lim( n 1 n 12

1 n 22

1 n n2

).

2.单调有界准则如果数列 xn 满足条件

x1 x2 x1 x2准则Ⅱ

xn xn 1 xn xn 1

, 称为单调增加 , 称为单调减少单调数列

单调有界数列必有极限.

几何解释:

x1 x2 x3x n x n 1

A

M

x

例如: 数列 xn 3 3

3 极限存在.

●函数极限也有类似的准则，对自变量的不同变化过

程，准则有不同的形式.以 x x0 为例：

准则Ⅱˊ

设函数 f ( x) 在点 x0 某个左领域内单调并 x f ( x ) 且有界，则 在 0 的左极限 f ( x0 ) 必定存在.

3.两个重要极限sin x (1) lim 1 x 0 x

1 x A o C

B D

△AOB 的面积<扇形AOB的面积<△AOD的面积注： 此结论可推广到 limsin ( x) 1, 条件是：x a 时， x a ( x) x 0,其中 a 可为有限值，也可为 .

例2. 求

例3. 求

例4. 求

1 x (2) lim(1 ) e x x当 x 取正整数n 且趋于 时，则有

1 n lim (1 ) e n n注: 此极限也可写为 lim(1 z ) e.z 01 1 z z) lim(1 e z 0

1 z

1 x 例5. 求 lim(1 ) . x x