专题十一：转化与化归的思想-学生版-苏深强

转化与化归思想

【考情分析】

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。

预测2012年高考对本讲的考查为：

（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。

（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。 （3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。 （4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。 【知识交汇】

转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。

1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

2．常见的转化方法

转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。常见的转化方法有：

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题；

（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；

（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；

（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；

（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；

（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；

（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的； （10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而

把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集CUA获得原问题的解决。

3．化归与转化应遵循的基本原则：

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；

（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；

（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；

（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；

（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

4．转化与化归的指导思想

(1)把什么问题进行转化，即化归对象； (2)化归到何处去，即化归目标； (3)如何进行化归，即化归方法；

化归与转化思想是一切数学思想方法的核心。 【思想方法】 题型1：集合问题

例1．已知集合A={ (x，y)|x，y为实数，且x y 1}，B={(x，y) |x，y为实数，且y=x}， 则A ∩ B的元素个数为（ ）

A．0 B． 1 C．2 D．3

22

（2）已知函数f(x) 4x 2(p 2)x 2p p 1,在区间[ 1,1]上至少存在一个实数c使

22

f(c) 0,求实数

p的取值范围.

题型2：函数问题

例2．讨论方程

|x2 2x 3| a a R

的实数解的个数.

题型3：不等式问题 例3．（1）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为

（A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元

（

2

）

设

集

合

A {(x,y)|

m

(x 2)2 y2 m2,x,y R}2

,

B {(x,y)|2m x y 2m 1,x,y R}, 若A B , 则实数m的取值范围是

___________；

题型4：三角问题

例4．（1）在 ABC中．sin sinB sinC sinBsinC.则A的取值范围是 (A)(0，

2

2

2

6

] (B)[

6

， ) (c)(0，

3

] (D) [

3

， )

（2）若0 A．a b

4

，sin cos a，sin cos b，则（ ）

B．a b D．ab 2

C．ab 1 题型5：数列问题

例5．已知数列 an 满足a1 33,an 1 an 2n,则题型6：立体几何问题

an

的最小值为__________. n

例6．如果三棱锥P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P—ABC的体积V

12

lh。 6

题型7：解析几何问题

例7．（1）设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。

（2） ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH＝m（OA＋OB＋，则实数m＝＿＿＿＿ OC）

题型8：具体、抽象问题

例8．若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解，则g［f（x）］不可能是（ ） （A）x＋x－

2

2

2

2

1111222

（B） x＋x＋ （C）x－ （D）x＋ 5555

题型9：正难则反转化问题

2

例9．等比数列 an 中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a

3

（Ⅰ）求数列 an 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 bn 满足：bn an ( 1)lnan，求数列 bn 的前2n项和S2n.

题型10：实际应用问题

例10．把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。

【思维总结】

1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现 …… 此处隐藏：3365字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……