11.3角平分线的性质(2)

1、会用尺规作角的平分线. 2、角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等用数学语言表述：A D O 1 2 E B P C

∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE

反过来，到一个角的两边的距离相等的 点是否一定在这个角的平分线上呢？

已知：如图,QD⊥OA,QE⊥OB, 点D、E为垂足，QD=QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上.

已知：如图,QD⊥OA,QE⊥OB, 点D、E为垂足，QD=QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上.证明: ∵ QD⊥OA,QE⊥OB(已知), ∴ ∠QDO=∠QEO=90°(垂直的定义) 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO=QO(公共边) QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO(HL) ∴ ∠ QOD=∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上

判定：到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上。用数学语言表示为：

∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE ∴点Q在∠AOB的平分线上. 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 相等. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD=QE

如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D, PE⊥BC于E,PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P 在BM上,B A ND P M F

∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等

E

C

如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F, 求证：点F在∠DAE的平分线上.证明： 过点F作FG⊥AE于G, FH⊥AD于H,FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE, FM⊥BC ∴FG=FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD, FM⊥BC ∴FM=FH ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上G M H

如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F,且BE=CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。A

E

F D

B

C

利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 在确定度假村的位置时,一定要画 想一想 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?

拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( D ) A.一处 B. 两处 C.三处. D. 四处

分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。

到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。用数学语言表示为：

∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上.角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD=QE

拓展与延伸3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于

点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.M D C F A E B N

1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平 分线上。 3.角平分线的性质定理和角平分线的判 定定理是证明角相等、线段相等的新途径.