实验3 快速傅立叶变换及其应用

班 级09电本1班学号 2009041507姓 名丁孟飞 同组人 实验日期 室温 大气压 成 绩

实验3 快速傅立叶变换及其应用

一、 实验目的

（1） 在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉MATLAB关函数。 （2） 应用FFT对典型信号进行频谱分析。

（3） 了解应用FFT应用FFT。 （4） 应用FFT实现序列的线性卷积和相关。

微型计算机 （包含MATLAB软件） 一台

数字信号的傅里叶变换,通常采用离散傅里叶变换(DFT)方法。DFT ,很难进行实时处理。计算一个N 点的DFT ,一般需要N次复数乘法和次复数加法运算.因此,当N较大或要求对信号进行实时处理时,往往难以实现1965年,J.W.Cooly和J.W.Tukey发现了DFT的一种快速算法,经其他, 很快形成了一套高效运算方法,这就是现在通用的快速傅里叶变换FFT( The Fast Fourier Transform)。快速傅里叶变换的实质是利用式(1)中的WN

nk

2

的对称性和周期性,把N点DFT进行一系列分解和组合,使整个DFT的计算过

,使DFT的运算量大大简化,为DFT及数字信号的实时处理

快速傅里叶变换算法如下：

由(1)式可知，对每一个n，计算X(ｎ)须作N次复数乘法及N-1次复数加法，要完成这组变换共需

次乘法及N(N-1)次复数加法。可大大减少运算次数，提高工作效率。 当N 2r时，n和k可用二进制数表示：

n 2k 2

r 1

nr 1 2kr 1 2

r 2

nr 2 n0 nr 1nr 2 n0kr 2 k0 kr 1kr 2 k0

r 1r 2

又记 W e

N

,则（1）式可改写为

X(nr 1nr 2 n0)

1k0 0

1k1

k

0

1

r 1 0

x0(kr 1kr 2 k0)W

p

（2）

式中：P nk (2r 1kr 1 2r 2kr 2 k0) (2r 1nr 1 2r 2nr 2 n0) W

P

W

(2

r 1

nr 1 2

r 2

nr 2 n0)2

r 1

kr 1

W

(2

r 1

nr 1 2

r 2

nr 2 n0)2

r 2

kr 2

W因为W

2r

K0(2

r 1

nr 1 2

r 2

nr 2 n0)

(3)

W

2r

[eN]

1

N

1所以（2）可改成

1k1

X(nr 1nr 2 n0) kW

(2

r 1

0 0

kr 1

k 0

(2

r 1

1

r 1 0

x0(kr 1kr 2 k0)

r 2

nr 1 2

r 2

nr 2 n0)2

r 1

W

nr 1 2

r 2

nr 2 n0)2kr 2

W

K0(2

r 1

nr 1 2

r 2

nr 2 n0)

（4）

x2(n0n1kr 3 k0)

1kr 2 0

x0(n0kr 2 k0)W

(2n1 n0)2r 2kr 2

(5)

X(nr 1nr 2 n0) xr(n0n1 nr 1)

则式（５）即为式（４）的分解形式。将初始数据代入式（５）的第一个等式，可得每一组计算数据，一般将痗L-1组计算数据代入式（５）的第L个等式，计算后可得第L组计算数据（L＝１，２，…，γ），计算公式也可表示为

x1(n0kr 2 k0)

1kr 1 0

x0(kr 1kr 2 k0)W

(2

r 1

nr 1 2

r 2

nr 2 n0)k0

=

P

xl 1(n0n1 nr 20kr 1kr 2 k0) xl 1(n0n1 nr 20kr 1kr 2 k0)W

（6）

式中P 2r 1nl 1 2r 2nl 2 2r 1n0 （7） 根据式（６），第

L个数组中每个xl(k)

l

x( 1rn

2r

n

n k

r1

r2

kk

的计算只依赖于上一个数组的两个数据这两个数据的标号相差2Y 1 N/2l，即

j i n/2

l

，而且这两个数据只用于计算第L个数组中标号的数据（等号右端为二进

制数）。当nl 1分别取０和１时，分别有k i,k j i n/2l。因此，用上一组的两个数据计算所得的两个新数据仍可储存在原来位置，计算过程中只需要N个存储器。将

xl(i)与xl(i n/2)称为第

l

L个数组中的对偶结点对。计算每个对偶结点对只需一次乘

法，事实上由式（６）可得

xl(i) xl 1(i) [i xl(i

N2

l

N2

l

]W

p1

N2

l

) xl 1(i) xl 1[i P1 2

r 2

]W

p2

P2 2

R 1

r l

式中：

nl 2 ... 2

r l

n0

；

2

r 2

nl 2 ... 2

r l

n0

别为式（７）中nl 1取

p

０，１时对应的P值。因

W

P2

P2 P1 2

P1

P1 N/2

，于是对偶结点的W有如下关系： W

P1

N2

[e

N

]

P1

N2

W

p

,因此式（６）可表示为

xl(i) xl 1(i) xl 1[i xl(i

N2

l

N2

l

]W

) xl 1(i) xl 1[i

N2

l

]W

p

P的求法：在

0...0n0n1...nl 1

xl(i)

中，i写成二进制数

n0n1...nl 1kr l 1...k0

右移r l位，就成为

颠倒位序得

p nl 1...n1n00...0(l 1,2,...,r)

式（５）吕，前面的γ个等式，

每个等式均对应一组数据进行计算，每组数据都有N/２对结点，根据式（９），每对结点只需作１次乘法和２次加法，因此，每组数据只需N/2次乘法和N次加法，因而完成γ组数据的计算共需Nγ/2次乘法和Nγ次加法。

四、实验内容

实验中应用到的序列号：

n p

e ansin 2 fn ,0 n 15 eq,0 n 15

x(n) xa(n)

b

0,其他 0,其他

2

(1)观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号xa(n)中参数p=8,改变q的值，使q分别等于2、4、8，观察他们的时域和幅频特性，了解当q取不同值时，对信号

序列的时域和幅频特性的影响；固定 q=8,改变 p,使 p 分别

等于 8、13、14,观察参 数 p 变化对信号序列的时域和幅频特性的影响， 注意 p 等于多少时会发生明显的泄漏 现象，混叠是否也随之出现？记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频 特性曲线。 程序： 解：程序： n=0:1:15; ylabel('Xa(k)'); %p=8不变，q变化(2,4,8); title('p=8 q=8') p=8;q=2; %p=8;q=2; %q=8不变,p变化(8,13,14); xa1=exp(-((n-p).^2)/q); p=8;q=8; %p=8;q=8; subplot(5,2,1); xa1=exp(-((n-p).^2)/q); plot(n,xa1,'-*'); subplot(5,2,5); xlabel('t/T'); plot(n,xa1,'-*'); ylabel('xa(n)'); xlabel('t/T'); title('p=8 q=2') ylabel('xa(n)'); xk1=abs(fft(xa1)); xk1=abs(fft(xa1)); subplot(5,2,2); title('p=8 q=8') stem(n,xk1) subplot(5,2,6); xlabel('k'); stem(n,xk1) ylabel('Xa(k)'); xlabel('k'); title('p=8 q=2') ylabel('Xa(k)'); p=8;q=4; %p=8;q=4; title('p=8 q=8') xa1=exp(-((n-p).^2)/q); p=13;q=8; %p=13;q=8; subplot(5,2,3); xa1=exp(-((n-p).^2)/q); plot(n,xa1,'-*'); subplot(5,2,7); xlabel('t/T'); plot(n,xa1,'-*'); ylabel('xa(n)'); xlabel('t/T'); title( …… 此处隐藏：5831字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……