第5课等差数列的概念和通项公式

第5课时等差数列的概念和通项公式 【学习导航】

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学习要求

1． 体会等差数列与一次函数的关系；

2．初步通过数列的下标研究数列。 【自学评价】

1．{an}是等差数列

a1 an 1

n

an 2

(n 1) 2．已知{an}是等差数列，若m n p q，则am an ap aq

【精典范例】

【例1】已知等差数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１，求首项ａ１和公差ｄ，并画出图像。 【解】

【答案】a1 1,d 2

等差数列的通项公式ａ＝２ｎ－１是关于

ｎｎ的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点（ｎ，ａｎ）均在直线ｙ＝２ｘ－１上。 【例2】（１）在等差数列｛ａｎ｝中，是否有aan 1 an 1

n

2

（ｎ≥２）？ （２）在数列｛ａｎ｝中，如果对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有aan 1 an 1

n

2

，那么数列｛ａｎ｝一定是等差数列吗？ 【解】

【例3】如图，三个正方形的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长组成等差数列，且ＡＤ＝２１ｃｍ，

这三个正方形的面积之和是１７９ｃｍ２

． （１）求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长；

听课随笔

（２）以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长为等差数列的前三项，以第１０项为边长的正方形的面积是多少？

【解】 （１）设公差为ｄ（ｄ＞０），ＢＣ＝x

则ＡＢ＝x－ｄ，ＣＤ＝x＋ｄ．由题意得 (x d) x (x d) 21

(x d)2 x2 (x d)2

179 解得 x 7或 x d 4 7 d 4（舍去）

ＡＢ＝３（ｃｍ），ＢＣ＝７（ｃｍ），ＣＤ＝１１（ｃｍ）

（２）正方形的边长组成首项是３，公差是４的等差数列｛ａｎ｝，所以

ａ１０＝３＋（１０－１）×４＝３９． ａ２＝３９２＝１５２１（ｃｍ２１０）．

所求正方形的面积为１５２１ｃｍ２

．

【追踪训练一】：

1．已知等差数列的通项公式为an 1

1

2

n求它的首项和公差，并画出它的图象．

【答案】略 2. 已知ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，ａｎ＋１，…，ａ２ｎ是公差为ｄ的等差数列．

（１）ａｎ，ａｎ－１，…，ａ２，ａ１也成等差数列吗？如果是，公差是多少？

（２）ａ２，ａ４，ａ６，…，ａ２ｎ也成等差数列吗？如果是，公差是多少？

【答案】（1） d （2）2d

３．已知等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ．

（１）将数列｛ａｎ｝中的每一项都乘以常数ａ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？

（２）由数列｛ａｎ｝中的所有奇数项按原来的顺序组成新数列｛ｃｎ｝是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？

【答案】（1）是等差数列，公差是ad （2）是等差数列，首项是a1，公差是2d

听课随笔

４．一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比．

【答案】三边长的比为3:4:5

５．某货运公司的一种计费标准是：１ｋｍ以内收费５元，以后每１ｋｍ收２.５元．如果运输某批物资８０ｋｍ，那么需支付多少元运费？

【答案】需支付运费202.5元

【选修延伸】

【例4】在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａｐ＝ｑ，ａｑ＝ｐ（ｐ≠ｑ），求ａｐ＋ｑ 【解】

【答案】ａｐ＋ｑ=0

【例5】如图（１）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成４个三角形（如图（２）），再分别连结图（２）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成７个三角形（如图（３））．依此类推，第ｎ个图中原三角形被剖分为ａｎ个三角形．

（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）第１００个图中原三角形被剖分为多少个三角形？

【解】

【答案】（1）an 3n 2 （2）298个三角形 【追踪训练二】：

1. 若｛an｝是等差数列，a3,a10是方程x2

-3x-5=0的两根，则a5+a8= 3 .

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