关于k次方数列及其行列式

第27卷 第4期2009年8月

江 西 科 学

JIANGXI SCIENCE

Vo.l27No.4

Aug.2009

文章编号:1001-3679(2009)04-0497-03

关于k次方数列及其行列式

黄 炜

(宝鸡职业技术学院基础部,陕西 宝鸡721013)

摘要:对任意正整数n,设ak(n)表示不超过n的最大k次方部分,bk(n)表示不小于n的最小k次方部分。本文主要目的是利用初等方法研究{ak(n)}和{bk(n)}这2个数列的性质,并给出由2个数列构成的行列式的一些特殊性质。

关键词:k方部分数列;Smarandache行列式;性质中图分类号:O156.4 文献标识码:A

Onthek thPowerNumber sSeriesandItsDeterminant

HUANGWei

(DepartmentofBasis,BaojiVocationalandTechnicalCollege,Shanxibaoji721013PRC)

Abstract:Letnbeapositiveinteger,ak(n)bethelargestk thpowernumbergreaterthanorequalton.Andbk(n)bethesmallestk thpowernumberlessthanorequalton.Inthispaper,usetheel

ementarymethodstostudythevalueofthedeterminantformedbytheseries{ak(n)}and{bk(n)},andgivetwointerestingconclusion.

Keywords:k thpowerpartnumberSeries,Smarandachedeterminan,tConclusion

1 引言及结论

1993年罗马尼亚数论专家FSmarandache教授提出了正整数n的k次幂部分数列。

定义:设对整数n,n的k次幂部分数列定义如下

ak(n)=max{m|m n,m N

k

k

+k

k

+

b(1)=1,b(2)=4,b(3)=4,b(4)=4,b(5)=9,b(6)=9,!。

对于任何正整数n,当n n<(h+1)时,ak

(n)=h;当h<n (h+1),bk(n)=(h+1),k=2,3,4,!。

在文献[1]的第41个问题中,罗马尼亚数论

},bk(n)=

专家FSmarandach教授要求研究数列ak(n)和bk(n)的性质。有关正整数n的k次幂部分数列的性质,文献[2]利用初等的方法研究了正整数的平方部分与立方部分的求和公式;文献[3]利用计算机程序研究了自然数幂和公式的计算机实现;文献[4,5]利用解析的方法研究了关于正整数的立方部分数列的均值公式。最具典型的是著名数论专家张文鹏教授在文献[4]给出了关于正

k

k

k

k

k

k

min{m|m n,m N}

+

其中,k N,k 2,称ak(n)表示不超过n的最大k次方部分,亦称为下部k次幂部分数列,称bk(n)表示不小于n的最小k次方部分,亦成为上部k次幂部分数列。例:当k=2时

a(1)=1,a(2)=1,a(3)=1,a(4)=4,a(5)=4,!,a(9)=9,!;

收稿日期:2009-05-25;修订日期:2009-06-28

作者简介:黄 炜(1961-),男,陕西岐山人,副教授,研究方向:数论及数学应用。(

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4

B(4,2)=

4

49

16164916252541616253636

9

2009年第27卷

整数的立方部分数列的2个精确的渐近公式,本文中,给出{ak(n)}和{bk(n)}这2个数列的一些重要性质;首先定义k次方幂定义的Smarandach行列式A(n,k)和B(n,k),即对任意的n,A(n,k)和B(n,k)表示n n的行列式:

A(n,k)=

ak(1)ak(n+1)

ak(n-n+1)B(n,k)=bk(2)bk(n+2)

bk(n-n+2)例如:A(2,2)=

11

=3,1411

A(3,2)=44

4411

A(4,2)=

44999914

A(5,2)=

91616149162525

!!B(2,2)=

4449

=-20,

1414=0,91499

4491614

=0,

2

2

2

2

99

1616161649

49

9

=0,162591616252591625253636

91616=0,25369

9

ak(2)ak(n+2)

ak(n-n+2)

bk(3)bk(n+3)

bk(n-n+3)

!!!!!!!!

ak(n)ak(2n) ak(n)bk(n+1)bk(2n+1)

bk(n+1)

22

B(5,2)=161625252525

449

91616252536363636

16162525

=0,

252536363649

B(6,2)=

称n为阶Smarandache行列式。

!!

关于这些行列式的性质,至今似乎没有人研究,至少没有在现有的文献中看到。最近,张文鹏教授建议研究这些行列式的性质。本文的主要目的是利用初等方法研究这2个问题,并给出这些行列式的性质,即就是证明了下面的定理。

定理1:对于任意的正整数n 3,A(n,2)=0且B(n,2)=0。定理2:对于任意的正整数n 3,k 2,A(n,k)=0且B(n,k)=0。

那么通过这种行列式的计算可以给出正整数是否为k次方数的一个新的判别方法。

49

499=0,

16254916162525

4916162536

2 定理的证明

2.1 定理1的证明

观察数列

311

13

999

161616161616149

199

4916

5

715

917

=0,

!!。

只是由于n-(n-n+1)=n+1-(n-n+2)=n-1<(n+1)-n=2(n-1)+3。由Smarandach行列式的定义知,行列式A

(n,2)和B(n,2)一定有2行或2列相同,可以推断:

2

2

2

2

2

2

A(6,2)=

161616252525252525

第4期 黄 炜:关于k次方数列及其行列式

ak(1)

ak(2)ak(n+2)

ak(n-n+2)ak(3)ak(n+3)

ak(n-n+3)

22

499

ak(n)ak(2n) ak(n)

2

!!!!!!!!

k

A(n,2)=

ak(n+1)

ak(n-n+1)ak(2)ak(n+2)

ak(n-n+2)

22

=0

ak(n+1)ak(2n+1)

ak(n+1)

k

k

k

k

k

1

k-1

2

B(n,k)==0

故A(n,2)=0且B(n,2)=0。2.2 定理2的证明

观察数列

2k-1

3k-2k

4k-3k

5k-4k

6k-5k

由于n-(n-n+1)=n+1-(n-n+2)=n-1(n+1)-n=Ckn

k-2

2

k-1

+Ckn

2k-2

+!+

Ckn+Ckn+1>k(n-1)。

由Smarandach行列式的定义知,行列式A(n,k)和B(n,k)至少有2行或2列相同,可以推断:ak(2)ak(n+2)

ak(n-n+2)ak(3)ak(n+3)

2

!!。

7k-6k

8k-7k

9k-8k

ak(1)

A(n,k)=

ak(n+1)

ak(n-n+1)ak(2)

B(n,k)=

ak(n+2)

ak(n-n+2)

这就完成了定理的证明。

2

2

2

!!!!!!!!

ak(n)ak(2n) ak(n)ak(n+1)ak(2n+1)

ak(n+1)

22

=0,

=0。

ak(n-n+3)

参考文献:

[1] [2]

SmarandacheF.OnlyProblems,NotSolutions[M].Chicago:XiquanPublishingHouse,1993.

SmarandacheF.SequencesofNumbersInvolvedinUnsolvedProblems[M].Phoenix:Hexis,PressHexis,2006.[3]

祁 兰,高 丽.正整数的立方部分数列的一个性

[6][5][4]

质[J].河南科学,2008,26(3):258-259.

张文鹏.关于正整数的立方部分数列[J].咸阳师范学院学报,2003,18(4):5-7.

吴启斌.一个包含Smarandache函敛的复合函敛[J].纯粹敛学与应用敛学:2007,23(4):463-466.YanXiao xia.OntheSmarandacheprimepart[J].ScientiaMagna,2007,3(3):74-77.