江苏省盐城市2020-2021学年高三上学期期中数学试题

盐城市2021届高三年级第一学期期中考试

数学试题

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）

1. 命题“()0,1x ?∈，20x x -<”的否定是（ ）

A. ()0,1x ?∈，20x x -≥

B. ()0,1x ?∈，20x x -≥

C. ()0,1x ??，20x x -<

D. ()0,1x ?∈，20x x -≥

2. 已知集合(){}ln 1A x y x ==-，集合1,22x B y y x ??????==>-?? ???????

，则A B =（ ） A. ? B. [)1,4 C. ()1,4 D. ()4,+∞

3. 已知向量a ，b 满足a b =，且a ，b 的夹角为3π，则b 与a b -的夹角为（ ） A. 3π B. 2π C. 34π D. 23

π 4. 在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.大意是有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢（ ）

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8 5. 函数()[](),sin x f x x x x

ππ=∈--的图象大致是（ ） A. B . C. D.

6. 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C ，动植物死亡后，停止新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 会自动衰变.经科学测定，14C 的半衰期为5730（设14C 的原始

量为1，经过x 年后，14C 的含量()x f x a =，即()157302

f =）.现有一古物，测得共14C 为原始量的79.37%，

则该古物距今约多少年？（ ）0.7937≈，0.9998≈）

A. 1910

B. 3581

C. 9168

D. 17190

7. 已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，且{}1n n a a +-是等比数列，则

81i i a ==∑（ ） A. 376 B. 382 C. 749 D. 766

8. 设(),0,x y π∈，若()()sin sin cos cos x y =，则()cos sin x 与()sin cos y 的大小关系为（ ）

A. =

B. >

C. <

D. 以上均不对

二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）

9. 设函数()5x f x =，()()2

g x ax x a R =-∈，若()15f g =????，则a =（ ） A. 1

B. 2

C. 3

D. 0 10. 函数()()2122ln 2f x ax a x x =

-++单调递增的必要不充分条件有（ ） A. 2a ≥ B. 2a = C. 1a ≥ D. 2a >

11. 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc =+，则角A 可为（ ） A. 34π B. 4π C. 712π D. 23

π 12. 设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）

A. 等差数列不可能是收敛数列

B. 若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-

C. 若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ????= ? ?????

，则{}n x 是收敛数列 D. 设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ???

???

一定是收敛数列 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分.请把答案写在答题纸的指定位置上）

13. 若2sin 43

πα?

?-= ???，则sin2α=_______. 14. 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，若44b c ==且2AB AD AB ?=，则cos A =_______，中线AD 的长为_______.

15. 若{}n a 是单调递增的等差数列，且4n a n a a =，则数列{}n a 的前10项和为_______.

16. 若函数()21ln 2

f x x b x ax =++在()1,2上存在两个极值点，则()39b a b ++的取值范围是_______. 四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

17. 设函数()cos2sin f x x m x =+，()0,x π∈.

（1）若函数()f x 在2x π

=处的切线方程为1y =，求m 的值；

（2）若()0,x π?∈，()0f x >恒成立，求m 的取值范围.

18. 设()()sin f x x ω?=+，其中ω为正整数，2π

?<.当0?=时，函数()f x 在,55ππ??-????

单调递增且在,33ππ??-????

不单调. （1）求正整数ω的值；

（2）在①函数()f x 向右平移12π个单位得到奇函数；②函数()f x 在0,3π??????上的最小值为12-；③函数()f x 的一条对称轴为12

x π

=-这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并完成解答.已知函数()f x 满足_______，在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a b <，()()f A f B =.试问：这样的锐角ABC △是否存在，若存在，求角C ；若不存在，请说明理由.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19. 设函数()()x

f x a x e =-. （1）求函数的单调区间；

（2）若对于任意的[)0,x ∈+∞，不等式()2f x x ≤+恒成立，求a 的取值范围.

20. 在ABC △中，D 为边BC 上一点，2DC =，6BAD π∠=

. （1）若2355AD AB AC =+，且角6B π=，求AC 的长；

（2）若BD =，且角3C π

=，求角B 的大小.

21. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知332S a =，4424S a =+.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）令22n n n n

a b S +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：2n T <. 22. 设函数()sin 1x f x e a x =--.

（1）当,22x ππ??∈- ??

?时，()'0f x >，求实数a 的取值范围； （2）求证：存在正实数a ，使得()0xf x ≥总成立.