谈排列组合中的分配问题

谈排列组合中的分配问题

第17卷　第2期2007年　第2期兵团教育学院学报

JOURNALOFBINGTUANEDUCATIONINSTITUTEvol117　No12

Apr.2007

数学教学研究

谈排列组合中的分配问题

董国军

(新疆兵团农二师华山中学,新疆库尔勒841000)

中图分类号:G633.6　　　文献标识码:A　　　文章编号:1009-1548(2007)02-0048-02　　在分配问题中,有平均分配问题和非平均分配两大类,而在平均分配问题中又分有序的平均分配(所分组与组之间有区别)和无序的平均分配(所分组与组之间无区别)。

一、平均分配问题

例如把a、b、c、d各种情况列表如下

:

2:,:一般来说,把n个不同元素分成k组,每组分别有m1,m2,m3…mk个,且m1,m2,m3…mk互不相等,

m

(m1+m2+m3+…+mk=n)则不同分法为Cmn1×Cn2-m×1

Cmn3-

(m+m)

1

2

×K×Cmmk种。k

KCmmk

如果m1,m2,m3…mk中有且仅有i个相等,则不同的分法为

CmCmCmn1 n2-m n3-Aii

(m+m)

种。

在处理有关“分配”问题时,应遵循先分堆(视堆与堆之间无顺序),再分配的原则。

三、举例

例1:6本不同的书,按以下要求处理,各有几种分法?

2

　　由表可知,C24C2表示的正是上面的6种情况,即表示有2

2序的平均分配情况。分堆方法数是2=3(种),即表示无

A2

序的平均分配情况。

(1)平均分成三堆

(2)一堆一本,一堆两本,一堆三本(3)一堆一本,一堆一本,一堆四本(4)平均分给甲、乙、两三人(5)甲得一本,乙得两本,丙得三本(6)甲得一本,乙得一本,丙得四本(7)一人得一本,一人得两本,一人得三本

22

2=15A33

理论部分1:平均分组,若组与组之间无顺序,则ab,cd与ab是一样的,无区别;若组与组之间有顺序,则ab,cd与

cd,ab是不同的,视为有区别。所以若将mm个元素平均分

为m组时,若组与组之间有顺序,则有法;若组与组之间无顺序(如分堆)则有同的分法。

二、非平均分配问题

n

CmnCn(mn-n)KCnn

种分

解:(1)因是平均分堆,由理论1得:共有分法

(种)

nnn)种不m

Am

23

(2)因是不平均分堆,由理论2得:共有分法C16C5C3=60

(种)

(3)三堆中有两堆是平均分堆,故分成三堆的方法:

14

1=15(种)A22

例如:把a、b、c、d分成两组,一组1个,一组3个,有几种分法?把种情况列表如下:

a　　　bcdb　　　adcc　　　badd　　　cba

3

由以上所列情况可知,C14C3表示的正是上面的4种情3

况,实际分堆的方法数是C14C3=4(种)

(4)先分堆,再分配,由(1)可知分堆方法数为

22

2,又A33

每一种分堆方法又对应有A33种不同的分配方案,故平均分

22

C2CC322

给甲、乙、丙、三人的分法有A3=C26C4C2=90(种)

A33

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谈排列组合中的分配问题

23

(5)由(2)可知,分堆的方法数为C16C5C3,而每种分堆方

法仅对应一种分配方法,故甲得一本,乙得二本,丙得三本的

23

分法为C16C5C3=60(种)。

14

1,在分配丙时,他A22

只能取4本的那一堆(别无选择),而甲、乙可在另两堆中任

221

24

第一类:共有A4=2520(种)放法

A3312314

第二类:共有A4=5040(种)放法

A2211414

第三类:共有A4=840(种)放法

A33

由分类计数原理知:共有8400种放法

(6)由(3)可知,分堆的方法数为

选取一堆,有A2因此,甲得一本,乙得一本,丙得四2种选法。

14

12

本的分法为:A2=30(种)分法。

A22

23

(7)由(2)知分堆的方法数为:C16C5C3,每种分组方法又对

例3:设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8}

(1)从A到B可建立多少不同的映射?

(2)若要求B中每个元素都有原象,则共有多少种映射?

应有A33种不同的分配方案,故一人得一本,一人得两本,一

233

人得三本的方法数为:C16C5C3A3=360(种)

解:(1)依映射的定义,要建立从A到B的映射,只要对

A中的每一个元素,保证在B中有唯一确定的象,所以共有35个。

(2)因为B为象的集合,所以问题等价于把A中5个元

21

2素分成3堆,共有2种情况:2个、2个、1个,有

A2213

1种,113,种,所有满足条件的映

A222113

1)A3(+3=150(种)。22

A2A2

例2:(1)将7个相同的小球全部放入四个不同的盒子,每盒至少一球,有多少种放法?

(2)将7个不同的小球全部放入四个不同的盒子,每盒

至少一球,有多少种方法?

解:(1)由隔析法得共有可分为三类

C36(种)放法。

(2)因为7=2+2+2+1=1+1+2+3=1+1+1+4

王海彬

(新疆兵团农九师167团中学,新疆额敏834601)

中图分类号:F　　　文献标识码:A　　　文章编号:1009-1548(2007)02-0049-02　　学生在学习数学的活动中,心理素质健康状况直接影响学生学习成果的好坏。本文就结合数学教学对学生进行心理辅导作一些初步体验

一、在数学概念、公式、定理、法则提出的同时进行新信息认同情感的心理辅导,培育期特心理

学生学习数学概念、公式、定理、法则的最大心理障碍是缺乏认同情感和期待心理,因而表现出对新知识接受的被动性和畏惧感。此时教师的心理辅导是引导学生消除畏惧和疑虑,积极主动参与新概念、公式、定理、法则的提出过程。其做法有:

1.说理。简要说明新概念、公式、定理、法则的意义以及

轮船从同一码头出发,都航行6千米,它们是否到达同一码头?为什么?”学生可以立即作出回答并设计出类似问题,通过对学生提出的大量问题归纳出正数与负数的概念。

4.借用。借学生生活中熟悉的非负数问题创设学习情

景,如引入平面直角坐标系概念时,借用象棋棋谱与对应棋子位置的关系,让学生感知坐标,从而产生学习期待心理,主动接受新概念。

二、在知识的形成和发展过程中进行抗挫与求胜心理辅导,培育学习毅力与意志

学生在新知识的形成与发展过程中最大的心理障碍是新旧知识相互作用产生的矛盾不能克服,旧的知识图式顽固地保留,而新的认知图式不能顺利形成,学生学习受挫,此时需要教师进行抗挫与求胜心理辅导。其做法是:

1.批评幽默化

对今后学习的重要性,使学生明白将要学习的内容是有意义的,从而愿意主动地参与学习过程。

2.设疑。古语“:学起于思,思起于疑”,教师精心设计学

生用已学知识还不能解决问题,引发学生对学习新知识的兴趣和期待心理。

3.引趣。将新概念、公式、定理、法则的本质属性嵌入学

诙谐幽默的批评既能指出学生的错误,又不会挫伤学生的学习积极性。如,学习了一元二次方程根的判别式后,提出问题:下列方程有实数根的是哪一个?(A)3x2-4x+2=0

(B)-x2-x-I=0(C)x2-2x+I=0(D)X2+4=0不少同学

生熟悉的生活、生产背景中再提出来,引发学生学习新知识的兴趣。如七年级学习正数和负数概念时,设计问题“:两艘

还会试图通过解方程获得答案,如果教师此时训斥说:“真

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