复变函数课后习题答案(全)(3)

显然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在k 1时的值为 2lnr (2 2 )i，而右端却取不到这一值），因此两端不相等。

1

lnr ( m 2k )i 22

11

右端 [lnr ( 2n )i] lnr ( n )i

222

其中k,n为任意整数，而 m 0,1

不难看出，对于左端任意的k，右端n取2k或2k 1时与其对应；反之，对于右端任意的n，当n 2l为偶数时，左端可取k l,m 0于其

（2

）左端

2m

2

Lni

]

华工复变函数课后习题答案

对应，而当n 2l 1为奇数时，左端可取k 2l,m 1于其对应。综上所述，左右两个集合中的元素相互对应，即二者相等。 12．证明sinz证明：首先有

sinz, cosz cosz

ez ex(cosy isiny) ex(cosy isiny) ex iy ez ，因此 eiz e izeiz e izeiz e ize iz eiz

sinz ()

2i 2i 2i 2ieiz e iz

sinz，第一式子证毕。

2i

同理可证第二式子也成立。 13．证明

Imz sinz e

iz

Imz

（即

y sinz e2

y

）

e e

证明：首先，sinz

2i

iz

eiz e iz

e y eyy e，

2

右端不等式得到证明。

其次，由复数的三角不等式又有

e e

sinz

2i

iz iz

eiz e iz

2

e y ey

2

e e

2

y y

，

ex e x

x，因此接着根据高等数学中的单调性方法可以证明x 0时

2

y ye e

上面的证明，有sinz y，左端不等式得到证明。

2

14．设z R，证明sinz chR, cosz chR

证明：由复数的三角不等式，有

e ee y eye ez chy， sin

2i222

由已知，y z R，再主要到x 0时chx单调增加，因此有

同理，

iz iz

eiz e

iz

yy

sinz cy chR，

eiz e ize y eye y eyeiz e iz

cosz chy chR

2222

证毕。

15．已知平面流场的复势f(z)为

华工复变函数课后习题答案

（1）(z i) （2）z （3）试求流动的速度及流线和等势线方程。

解：只需注意，若记f(z) (x,y) i (x,y)，则

22

1

2

z 1

流场的流速为v f(z)， 流线为 (x,y) c1， 等势线为 (x,y) c2，

因此，有 （1）(z i)

2

流速为v f(z) 2(z i) 2(z i)，

流线为x(y 1) c1，等势线为

[x (y 1)i]2 x2 (y 1)2 2x(y 1)i

x2 (y 1)2 c2

333223

（2）z (x iy) x 3xy (3xy y)i

22

流速为v f(z) 3z 3(z)，

2332

流线为3xy y c1，等势线为 x 3xy c2

111（3）2 2

22

z 1(x iy) 1x y 1 2xyi

x2 y2 1 2xyi

2 2222

(x y 1) 4xy 2z 2z流速为v f(z) 2， 222(z 1)(z 1)

xy

流线为 c， 222221

(x y 1) x4yx2 y2 1

等势线为 c2 22222

(x y 1) 4xy

习题三答案

1．计算积分

2

(x y ix)dz，其中c为从原点到1 i的直线段 c

解：积分曲线的方程为x t, y

2

1

t，即

tit:0 1，代入原积分表达式中，得 z x iy t ，

2

(x y ix)dz (t t it)(t ti) dt c

华工复变函数课后习题答案

1 i3 1 i

it(1 i)dt t

0033

z

2．计算积分 edz，其中c为

1

2

c

（1）从0到1再到1 i的折线 （2）从0到1 i的直线 解：（1）从0到1的线段c1方程为：z x iy x, x:0 1， 从1到1 i的线段c2方程为：z代入积分表达式中，得

z

z

z

1x0

x iy 1 iy, y:0 1，

1

1 yi

edz edz edz edx e (1 yi) dy c

c1

c2

e

x0

ei (cosy isiny)dy e 1 ei(siny icosy)0

1

1

e 1 ei(sin1 icos1 i) e(cos1 isin1) 1 e1 i 1； （2）从0到1 i的直线段的方程为z x iy t ti，t:0 1，

代入积分表达式中，得

edz e

c

z

1

t ti

(t ti) dt (1 i) et(cost isint)dt，

1

对上述积分应用分步积分法，得

e(sint cost)ei(sint cost)

edz (1 i)[ ] 22c0

z

tt

(1 i)e(1 i)eit (cost isint sint icost) (e ieit)

2200

t

1

t

1

e

(1 i)t1

e1 i e0 e1 i 1

3．积分

2

(x iy)dz，其中c为 c

x2从0到1 i

解：（1）积分曲线的方程为z x iy t ti，t:0 1，

（1）沿y x从0到1 i （2）沿y代入原积分表达式中，得

2

(x iy)dz (t it)(t ti)dt (1 i)(t it)dt c

2

1

2

1

1115

(1 i)( i) i

3266

2

（2）积分曲线的方程为 z x iy x x，i t:0 1，

代入积分表达式中，得

华工复变函数课后习题答案

23

(x iy)dz (x ix)(x xi)dx (1 i)(x 2xi)dx c

2

1

222

1

4．计算积分

1215

(1 ii) i

3466

（1）从 1到+1的直线段 （2）从 1到+1的圆心在原点的上半

圆周 解：（1）c的方程为z x，代入，得 （2）c的方程为z

zdz，其中c为 c

zdz 2 xdx 1 10

c

11

x iy cos isin , : 0，代入，得

zdz 1 (cos isin ) d ( sin icos )d c

5．估计积分

(co s is i )

2

1

的模,其中c为+1到-1的圆心在原点的上半圆周。 2 z 2c

解：在c上，z=1，因而由积分估计式得

111 ds ds c的弧长 2

2 2

z 2z 2ccc2 zcf(z)在整个复平面上有界，则正整数n 1时

f(z)

lim dz 0 nR zcR

6．用积分估计式证明：若

其中cR为圆心在原点半径为R的正向圆周。 证明：记

f(z) M，则由积分估计式得

f()1M

ds Md dsnnn zRcR

cRcRczM2 M

n2 R ， n 1

RR

因n 1，因此上式两端令R 取极限，由夹比定理，得

f(z)

lim dz 0， 证nR zcR

0

f(z)

d nz

毕。

华工复变函数课后习题答案

7．通过分析被积函数的奇点分布情况说明下列积分为0的原因，其中积分曲线c皆为

z 1。

dzdz（1） （2） （3）22 (z 2)z 2z 4cc

dz

2 z 2c

dzz

zedz （4） （5） coszcc

2

（2）(z 1) 3 0

2，

即z 1 ，（3

）z （4）z k , k为任意整数，

2

解：各积分的被积函数的奇点为：（1）z

（5）被积函数处处解析， …… 此处隐藏：1761字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……