复变函数课后习题答案(全)(2)

z 3，以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，

有界，多连通 （2）

argz (0 2 )，顶点在原点，两条边的倾角

分别为 , 的角形区域，无界，单连通 （3）

z 3

1，显然z 2，并且原不等式等价于z 3 z 2，说z 2

明z到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3 连线的垂直平分线即x 2.5左边部分除掉x 2后的点构成的集合，是一无界，多连通

华工复变函数课后习题答案

区域。 （4）

z 2 z 2 1，

显然该区域的边界为双曲线

2

z 2 z 2 1，化为实方程为

42

4x y 1，再注意到z到2与z到 2的距离之差大于1，因而不

15

等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。 （5）

z 1 4z 1，代入z x iy，化为实不等式，得

所以表示圆心为(

(x

1728) y2 )2 1515

178

,0)半径为的圆周外部，是一无界多连通区域。 1515

习题二答案

1．指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。 （1）(z 1) （2）z

5

3

2iz （3）

11

z （4） 2

z 3z 1

解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，

商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：

] 5(z 1)4 323

（2）z 2iz处处解析，(z 2iz) 3z 2i

12

（3）2的奇点为z 1 0，即z i，

z 1

1 (z2 1) z2

(2) , z ( i )2222

z 1(z 1)z( 1)1z （4）的奇点为z 3，

z 3

11) 1 , (z 3) (z 2

z 3(z 3)

（1）(z 1)处处解析，[(z 1)

2．判别下列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。 （1）

55

f(z) xy2 x2yi （2）f(z) x2 y2i

华工复变函数课后习题答案

（3）

1

f(z) x3 3xy2 i(3x2y y3) （4）f(z)

z

解：根据柯西—黎曼定理：

xy2, v x2y，

22

ux y, vy x,uy 2xy, vx 2xy

四个一阶偏导数皆连续，因而u,v处处可微，再由柯西—黎曼方程 ux vy, uy vx解得：x y 0，

因此，函数在z 0点可导， f (0) ux ivxz 0 0，

（1）u

函数处处不解析。

x2, v y2，

vy 2y,u0,v ux 2x, y x

四个一阶偏导数皆连续，因而u,v处处可微，再由柯西—黎曼方程 ux vy, uy vx解得：x y， 因此，函数在直线y x上可导， f (x ix) ux ivx 2x， y x

（2）u

因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。

x3 3xy2, v 3x2y y3，

2222

v 3x 3y,u 6xy,x v 6xy ux 3x 3y, yy

四个一阶偏导数皆连续，因而 u,v 处处可微，并且 u,v 处处满

uy v足柯西—黎曼方程 ux vy, x

（3）u

因此，函数处处可导，处处解析，且导数为

f (z) ux ivx 3x2 3y2+i6xy 3z2

11x iyxy

2, v 2 （4）f(z) ，u 2， 222

x yx yzx iyx y

y2 x2x2 y2

ux 2， , v y 22222

(x y)(x y) 2xy 2xy

, vx uy 2， 22222

(x y)(x y)

因函数的定义域为z 0，故此，u,v处处不满足柯西—黎曼方程，

因而函数处处不可导，处处不解析。 3．当l,m,n取何值时处解析？ 解：u

32

f(z) my3 nx2y i(x lxy)在复平面上处

my3 nx2y, v x3 lxy2

ux 2nxy, vy 2lxy, uy 3my2 nx2, vx 3x2 ly2，

华工复变函数课后习题答案

由柯西—黎曼方程得：

uy 3my nx vx 3x ly (2)

由（1）得 n l，由（2）得n 3, 3m l，因而，最终有 m 1, n l

222

f(z)) (f(z)) f(z)

4．证明：若f(z)解析，则有 (

x y

2

2 证明：由柯西—黎曼方程知，左端

2uu vv2(uux vvx)2 (uvx vux)2

22u vu2(ux vx)2 v2(ux vx)222

(u v) u ivxxxx 22

u v2

f (z) 右端，证毕。

5．证明：若f(z) u iv在区域D内解析，且满足下列条件之一，则在D内一定为常数。 （1）

ux 2nxy vy 2lxy, (1)

2

2

2

2

f(z)

f(z)在D内解析 ， （2）u在D内为常数，

2

（3）f(z)在D内为常数， （4）v u （5）2u 3v 1 证明：关键证明u,v的一阶偏导数皆为0！

（1）f(z) u iv，因其解析，故此由柯西—黎曼方程得

ux vy, uy v x ------------------------（1）

f(z)的解析性，又有ux vy, uy vx ------------------------（2） 由（1）、（2）知，ux uy vx vy 0，因此u c1, v c2,即 f(z) c1 ic2为常数 （2）设u c1，那么由柯西—黎曼方程得

0, vy ux ，0 vx uy

说明v与x,y无关，因而 v c2，从而f(z) c1 ic2为常数。

而由

（3）由已知，

f(z) u2 v2 c0为常数，等式两端分别对x,y求偏

2

导数，得

华工复变函数课后习题答案

2uux 2vvx 0

2uuy 2vvy 0

uy v-------------------------因f(z)解析，所以又有 ux vy, （2） x

0，说明 u,v皆与x,y无求解方程组（1）、（2），得 ux uy vx vy

关，因而为常数，从而f(z)也为常数。

2

（4）同理，v u两端分别对x,y求偏导数，得

y 2u u vx 2uux, vy

再联立柯西—黎曼方程ux vy, uy vx，仍有

0 ux uy vx vy

（5）同前面一样，2u 3v 1两端分别对x,y求偏导数，得

vx 0, u y2v+ 3 2ux+3y

考虑到柯西—黎曼方程ux vy, uy vx，仍有

0，证毕。 ux uy vx vy

6．计算下列各值（若是对数还需求出主值） （1）e

i

2

----------------------------（1）

（2）Ln( i) （3）Ln( 3 4i)

i

（4）sini （5）(1 i) （6）27

解：（1）e

i

2

23

cos( ) isin( ) i

22

1

Ln( i) ln i arg( i) 2k i ( 2k) i， （2）

2

k为任意整数，

1

主值为：ln( i) i

2

（3）Ln( 3 4i) ln 3 4i arg( 3 4i) 2k i

4

( arc nk 2i， ) ln5 k为任意整数

3

4

主值为：ln( 3 4i) ln5 ( arctan)i

3

ei.i e i.ie e 1

i （4）sini

2i2

（5

）(1 i)

i

eiLn(1 i) e

i(i 2k i)

4

e

2k

4

华工复变函数课后习题答案

23

e

2k 4

(cos 2i

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