复变函数课后习题答案(全)

华工复变函数课后习题答案

习题一答案

1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

i1

（2）

(i 1)(i 2)3 2i

13i821

（3） （4） i 4i i

i1 i

13 2i

解：（1）z ，

3 2i1332, Imz ，

因此：Rez 1313232z argz arctan, z i

31313ii 3 i

（2）z ，

(i 1)(i 2)1 3i10

31, Imz ，

因此，Rez 1010

131z argz arctan, z i

3101013i3 3i3 5i

i （3）z ，

i1 i22

35

因此，Rez , Imz ，

3253 5i

z , argz arctan, z

232

821

（4）z i 4i i 1 4i i 1 3i

（1）

因此，Rez

1, Imz 3，

z argz arctan3, z 1 3i

2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2

） 1 （4）r(cos 解：（1）i

（3）r(sin icos )

isin ) （5）1 cos isin (0 2 )

cos

2

isin

2

2

e

华工复变函数课后习题答案

2i223

（2

） 1 2(cos isin ) 2e

33

（3）r(sin （4）r(cos

icos ) r[cos( ) isin( )] re

22 isin ) r[cos( ) isin( )] re i isin 2sin2

( )i

2

（5）1 cos

2isincos 222] 2sin

i

2sin[cos

2

（1

）

2

isin

2

2

e

2

3． 求下列各式的值：

i)5 （2）(1 i)100 (1 i)100

(1 )(cos isin )(cos5 isin5 )2

（3

） （4）

(1 i)(cos isin )(cos3 isin3 )3

（5

（6

i) [2(cos( ) isin(

))]5

66

5

解：（1

）5

5 5

2(cos( ) isin( )) i)

66

（2）(1 i)

100

(1 i)100 (2i)50 ( 2i)50 2(2)50 251

(1 )(cos isin )

（3

）

(1 i)(cos

isin )

2[cos( ) isin( )](cos isin )

) isin( )][cos( ) isin(

)]44

12

) isin(

12

)](cos2

isin2 )

12

) isin(2

12

)] (2

12

)i

华工复变函数课后习题答案

(cos5 isin5 )2

（4）

(cos3 isin3 )3

cos10 isin10 cos19 isin19 cos( 9 ) isin( 9 )

（5

1

i, k 0 22 11 1

i, k 1 cos( 2k )

isin( 2k )

3232 22

i, k 2

（6

i

8

1 1 , k 0 ( 2k )

isin( 2k )]

2424 8i, k 1

4．

设z1

z z2 i,试用三角形式表示z1z2与1

z2解：z1

cos

4

isin

, z2 2[cos( ) isin( )]，所以

466

z1z2 2[cos( ) isin( )] 2(cos isin)，

46461212z11 15 5

[cos( ) isin( )] (cos isin) z22464621212

5． 解下列方程： （1）(z i)

5

1 （2）z4 a4 0 (a 0) 由此

解：（1

）z i

华工复变函数课后习题答案

z i e

（2

）z

2k i5

i， (k 0,1,2,3,4)

时，对应的4

11

a[cos( 2k ) isin( 2k )]，当k 0,1,2,3

44

(1 i), ( 1 i), 1 i), i) 6． 证明下列各题：（1）设z x

iy, z x y

证明：首先，显然有 其

次

z x y

，

因

；

固

此

有

x2 y2 2xy,

2(x2 y2) (y2) ,

从而

z

2

2

。

2

（2）对任意复数z1,z2,有z1 z2 z1 z2 2Re(z1z2)

2

证明：验证即可，首先左端 (x1 x2)而右端

(y1 y2)2，

x12 y12 x22 y22 2Re[(x1 iy1)(x2 iy2)]

x12 y12 x22 y22 2(x1x2 y1y2) (x1 x2)2 (y1 y2)2，

由此，左端=右端，即原式成立。 （3）若a bi是实系数代数方程a0z

n

a1zn 1 an 1z a0 0

的一个根，那么a bi也是它的一个根。

证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，z

n

(z)n，由此得到：a0(z)n a1(z)n 1 an 1z a0 0

由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。结论得证。 （4）若

a 1,则 b a,皆有

a b

a

1 ab

华工复变函数课后习题答案

证明：根据已知条件，有aa 1，因此：

a ba ba b1

a，证毕。

1 abaa ab(a a)baa b

（5）若a 1, b 1，则有 1

1 ab

证明：

a b (a b)(a b) a b ab ab，

ab (1 ab)(1 ab) 1 ab ab ab，

2

2

2

222

因为

a 1, b 1，所以，

2

a 2

22 0， 1 (1ab 1)

222

a b

因而a b ab，即 1，结论得证。

1 ab

7．设

z 1,试写出使zn a达到最大的z的表达式，其中n为正整数，a

为复数。

解：首先，由复数的三角不等式有

zn a zn a 1 a，

n

为此，需要取zzn a达到最大，

在上面两个不等式都取等号时与a同向且

n

n

a

z 1，即z应为a的单位化向量，由此，z

a

n

，

z 8．试用z1,z2,z3来表述使这三个点共线的条件。 解：要使三点共线，那么用向量表示时，z2

z1与z3 z1应平行，因而二

者应同向或反向，即幅角应相差0或 的整数倍，再由复数的除法运算规则知Arg

z2 z1

应为0或 的整数倍，至此得到：

z3 z1

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z2 z1

z1,z2,z3三个点共线的条件是为实数。

z3 z1

9．写出过z1,z2 (z1

z2)两点的直线的复参数方程。

解：过两点的直线的实参数方程为：

x x1 t(x2 x)1

，

1 y y1 t(y2 y)

因而，复参数方程为：

z x iy 1x 1iy (t2x 1x 2iy )1iy 1( z

2

t )zz

其中t为实参数。

10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t为实参数）

i

（1）z (1 i)t （2）z acost ibsint （3）z t

t

解：只需化为实参数方程即可。 （1）x t,y t，因而表示直线y x

x2y2

（2）x acost,y bsint，因而表示椭圆2 2 1

ab

1

x t,y （3），因而表示双曲线xy 1

t

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