专题复习 三角函数与平面向量(4)

第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。 第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等。 五、复习建议

1、本节公式较多，但都是有规律的，认真总结规律，记住公式是解答三角函数的关键。

2、注意知识之间的横向联系，三角函数知识之间的联系，三角函数与其它知识的联系，如三角函数与向量等。

3、注意解三角形中的应用题，应用题是数学的一个难点，平时应加强训练。 四．易错与注意的问题

命题意图：三角与三角函数的综合问题主要考点是三角变换、图像、解析式、向量或三角应用题，重点是三角、向量基本知识的综合应用能力。数形结合、函数与方程思想、化归转化的思想是解决三角函数问题时经常使用的基本思想方法。属于基础题或中档题的层面，高考中一定要尽量拿满分。

评注：三角函数的训练应当立足课本，紧扣高考真题，不需要加深加宽．解答三角函数考题的关键是进行必要的三角恒等变形，其解题通法是：发现差异（角度，函数，运算），寻找联系（套用、变用、活用公式，技巧，方法），合理转化（由因导果，由果探因）．其解题技巧有：常值代换：特别是用“1”的代换；项的分拆与角的配凑；化弦（切）法；降次与升次；引入辅助角：asinθ+bcosθ=a bsin(θ+ )，这里辅助角 所在象限由a、b的符号确定， 角的值由tan

2

2

b

确定．此类题目的特点是主要考查三角a

函数的概念、周期性、单调性、有界性、“五点法”作图，以及求三角函数的最大(最小)值等。

【问题解析】★★★高考将考什么(深入复习)

【例1】已知函数f(x) 2sin2x sin2x 3.

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和最小值；

（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区[0，π]上的图象.

【分析及解】（Ⅰ）f(x) 所以，f(x)的最小正周期T （Ⅱ）列表：

3(1 2sin2x) sin2x sin2x cos2x 2sin(2x 2

，最小值为 2 2

3

)

故画出函数y=f(x)在区[0，π]上的图象为

三角函数应用题

14．如图，A、B是一矩 OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=3，设∠AOE=α.

（1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α); （2）写出函数f(α)的取值范围．

14．解：（1）∵OE=1，EF=．∴∠EOF=60°．

当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45°+α) ． ∴f(α)=S△AOB=1[tan(45°+α)－tanα]

2

=

sin45 2=． 2cos ·cos(45 α)2cos(2α 45 ) cos

当a∈（15°,45°）时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=1，OB=∴f( )=S△AOB=1OA·OB·sin45°=

2

．

cos(45 α)

6

1··sin45°=2cos cos(45 α)

12

2 2α) 2

4

α综上得：f(α)= 2cos(2

α 2cos(2

2

4

　　 [0,) 2

]

4

) 2

　　 (,]

124

（2）由（1）得：当α∈[0， ]时，f(α)=

12

2

2cos(2α

4

∈[1,－1] ．

) 2

2

且当α=0时，f(α)min=1；α= 时，f(α)max=3－1；

2

12

当α∈( , ]时,－ ≤2α－ ≤ ，f（α）=

124

6

2cos(2α

1244

4

) 2

∈[6－,3]．

2

且当α= 时，f(α) min=6－；当α= 时，f(α) max=．

842所以f(x) ∈[1,3]．

2

2

（2006年上海）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（只需求出该角的一种三角函数值）？ [解]

北

B

例14．（06江西理，19）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设 MGA＝ （

3

2

3

）

（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）； （2）表示为 的函数，求y＝

11

＋S12S22

的最大值与最小值。

C

解析：（1

）因为G是边长为1的正三角形ABC

的中心，所以 AG＝

23， MAG＝

6

，由正弦定理

GMsin

6

＝

GA

sin（ － －）

6

sin 12sin（ －）

6

得GM＝

6sin（ ＋）

6

，则S1＝

12

GM GA sin ＝

sin

12sin（ ＋）

6

。

同理可求得S2＝

。

（2）y＝

11＋2y1y22

＝

144 2 22

sin（ ＋）＋sin（ －）〕 ＝72（3＋cot ）因为sin2 6633

2

，

所以当 ＝

2 或 ＝

33

时，y取得最大值ymax＝240，当 ＝

2

时，y取得最小值ymin＝216。

点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数f(t) t

4，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？ t