2000-2013年全国高中数学联合竞赛试卷(含答案)(5)

333273

∵ f(x3)=0

123a3a2a

a c (x3 ) ( b)(x3 ) (Ⅲ) ∴ ab

327333

a123a2 222

由(Ⅰ)得 x3 4a 12b 3 ] b

33334

a2 21223 b，由(Ⅱ) 和(Ⅲ)可知p 且ab a3 c 记p=

433279

令 y=

p

2

4

(p 2)

123233a c y(y2 2) 30分

327944

3 2 23 2 33 2 33

y y () ∵ y =y 444242

2

=(y )(y )

2

p

2

，则y 0且ab

0

2a3 27c 9ab331233

a c ∴ab 40分

232718 3

∴取a=2,b=2,c=0, =2，则f(x)=x3+ax2+bx+c有根 1， 3 1，0

显然假设条件成立，且