2000-2013年全国高中数学联合竞赛试卷(含答案)

2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:00 9:40）

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

x2－2

1．设全集是实数，若A={xx－2 0}，B={x|10=10x}，则A∩ RB是( ) (A){2} (B){ 1} (C){x|x 2} (D)

ααα

2．设sin ＞0，cos ＜0，且sin＞，则的取值范围是( )

333

ππ2kππ2kππ

(A)(2k +2k +， k Z (B)( + ，+)，k Z

6336335πππ5π

(C)(2k +，2k + )，k Z (D)(2k +，2k +)∪(2k +2k + )，k Z

6436

22

3．已知点A为双曲线x y=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )

333

(A) (B) (C3 (D3

32

4．给定正数p，q，a，b，c，其中p q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2 2ax+c=0( )

(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根

54

5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=的距离中的最小值是( )

35

343411(A) (B) (C) (D)

170852030

ππ

6．设ω=cos+isin，则以 ， 3， 7， 9为根的方程是( )

55

(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4 x3+x2 x+1=0 (C) x4 x3 x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2 x 1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．arcsin(sin2000 )=__________．

n

32333n

2．设an是(3x)的展开式中x项的系数(n=2，3，4， )，则lim(++ +))=________.

an n→∞a2a3

3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.

x2y2

4．在椭圆+1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率

ab

5－1是ABF=_________.

2

5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a b，b c，c d，d a；

(3)a是a，b，c，d中的最小值，

____

那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分)

S1．设Sn=1+2+3+ +n，n N*，求f(n)=的最大值．

(n+32)Sn+1

113

2．若函数f(x)=－2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．

22

x2y2

3．已知C0：x+y=1和C11 (a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意

aa

一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．

2

2

2000年全国高中数学联赛二试题 （10月15日上午10∶00-12∶00）

一．（本题满分50分）

如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．

C E

二．（本题满分50分）

设数列{a n}和{b n }满足a0=1，a1=4，a2=49，且 an+1=7an+6bn－3， n=0，1，2， bn+1=8an+7bn－4．

证明a n（n=0，1，2， ）是完全平方数． 三．（本题满分50分）

有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3 k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．

2000年全国高中数学联合竞赛试题解答

第一试

一．选择题（本题满分36分，每小题6分）

x2－2

1．设全集是实数，若A={xx－2 0}，B={x|10=10x}，则A∩ RB是( ) (A){2} (B){ 1} (C){x|x 2} (D) 解：A={2}，B={2，－1}，故选D．

ααα

2．设sin ＞0，cos ＜0，且sin＞，则的取值范围是( )

333

ππ2kππ2kππ

(A)(2k +2k +， k Z (B)( + +)，k Z

6336335πππ5π

(C)(2k +，2k + )，k Z (D)(2k +，2k +)∪(2k +，2k + )，k Z

6436

πα2kππ2kππ

解：满足sin ＞0，cos ＜0的α的范围是(2k +，2k +π)，于是(+，)，

233633

αααπ5πππ5π

满足sincos(2k +2k +)．故所求范围是(2k +2k +)∪(2k +2k + )，33344436k Z．选D．

3．已知点A为双曲线x2 y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )

333

(A) (B) (C3 (D3

323

解：A(－1，0)，AB方程：y=(x+1)，代入双曲线方程，解得B(2，3)，

3

∴ S=33．选C． 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q

是等差数列，则一元二次方程bx2 2ax+c=0( )

(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根

2p+qp+2q

解：a2=pq，b+c=p+q．b=，c=

33

112

△=a2－bc=pq－p+q)(p+2q)=－p－q)2<0．选A． 499

54

5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=的距离中的最小值是( )

35

343411(A) (B) (C) (D)

170852030

|25x－15y+12||5(5x－3y+2)+2|

解：直线即25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离==．

534534

∵5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2| 2．且当x=y=－1时即可取到2．选B．

ππ

6．设ω=cos+isin，则以 ， 3， 7， 9为根的方程是( )

55

(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4 x3+x2 x+1=0 (C) x4 x3 x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2 x 1=0

解：ω5+1=0，故 ， 3， 7， 9 都是方程x5+1=0的根．x5+1=(x+1)(x4－x3+x2－x+1)=0．选B． 二．填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．arcsin(sin2000 )=__________.

π

解：2000°=180°³12－160°．故填－20°或－．

9

n

32333n

2．设an是(3x)的展开式中x项的系数(n=2，3，4， )，则lim

(++ +))=________.

an n→∞a2a3

3k2·3218=，故填18． ak3n(n－1)n(n－1)

3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.

a+log3a+log3(a+log43)－(a+log83)log43－log8311

解：q==．填．

a+log23a+log43(a+log23)－(a+log43)log23－log4333

22xy

4．在椭圆+1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率

ab

5－1是ABF=_________. 2

5－15+15+32

解：c=a，∴|AF|=a．|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2=．

222

故有|AF|2=|AB|2+|BF|2．即∠ABF=90°．填90°． 5－12

或由b2=a2－c2=a=ac，得解．

2

5．一个球与正四面体的六条棱都相切， …… 此处隐藏：3050字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……