2000-2013年全国高中数学联合竞赛试卷(含答案)(2)

ab2ab

r1

1sin2θcos2θ11

同理，1．

2ababr211

反之，若1成立，则对于椭圆上任一点P(r1cosθ，r1sinθ)，取椭圆上点Q(r2cos(θ+90°)，r2sin(θ+90°)，

ab

1cos2θsin2θ1sin2θcos2θ1111则=，于是1，此时PQ与C0相切．即存在满足条件的平行四2ab2ab22abr1r2r1r2边形．

故证．

2

2

第二试

一．（本题满分50分）

如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．

证明：连MN，则由FM⊥AM，FN⊥AN知A、M、F、N四点共圆，且该圆的直径为AF．又 AMN= AFN，但 FAN= MAD，故A MAD+ AMN= FAN+ AFN=90 ．∴MN⊥AD，且由正弦定理知，

M

MN=AFsinA．

11

∴SAMDN=AD·MN= AD·AFsinA． 22

BC连BD，由 ADB= ACF， DAB= CAF，得⊿ABD∽⊿AFC． ∴ AD∶AB=AC∶AF，即AD·AF=AB·AC．

11∴ SAMDN= AD·AFsinA=AB·ACsinA=SABC．

22

二．（本题满分50分）

设数列{a n}和{b n }满足a0=1，a1=4，a2=49，且

an+1=7an+6bn－3， n=0，1，2， bn+1=8an+7bn－4．

证明a n（n=0，1，2， ）是完全平方数．

证明 ⑴×7：7an+1=49an+42bn－21， ⑵×6：6bn+1=48an+42bn－24．

两式相减得，6bn+1－7an+1=－an－3，即6bn=7an－an－1－3．

111

代入⑴：an+1=14an－an－1－6．故an+1－14(an－)－(an－1－．

222

其特征方程为x2－14x+1=0，特征方程的解为x=7±43．

11

故an=α(7+43)n+β(7－43)n+现a0=1，a1=4，a2=49．解得α=β=．

24

111111∴ an=3)n+(7－43)n+=(2+3)2n+(2－3)2n+44244211

=[3)n+(2－3)n]2． 2211

由于[(2+3)n+－3)n]是整数，故知an是整数的平方．即为完全平方数．

22

三．（本题满分50分）

有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3 k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．

解：由条件知，统计各n－2人组的通话次数都是3k次，共有C

2n－2

n=Cn个

n－2人组，若某两人通话1

22n－4

次，而此二人共参加了C= C个n－2人组，即每次通话都被重复计算了C次．即总通话次数

n－2n－2n－2

n(n－1)

应为3k次．

(n－2)(n－3)

由于(n－1，n－2)=1，故n－2|n 3k．

若n－2|n，故n－2|2，易得n=4，(n=3舍去)此时k=0． 由n－2|3k，n=3m+2，(m为自然数，且m k)，此时

mm

n(n－1)6－k(3+2)(3+1)k

3 =3=[3m+4+3km，即3m－1|6．

(n－2)(n－3)3(3－1)3－1

∴ m=0，1．当m=0时，n=3(舍去)，当m=1时，n=5．

又：n=4时，每两个人通话次数一样，可为1次(任何两人都通话1次)；当n=5时，任何两人都通话1次．均满足要求． ∴ n=0，5．

二○○一年全国高中数学联合竞赛题

2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）

本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为

（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定 2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以 为周期、在（0，

）上单调递增的偶函数是 2

（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx| （D）y=lg|sinx| 4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一个，那么k的取值范围是

（A）k=8 （B）0<k 12 （C）2 （D）0＜ｋ≤12或k 8 5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000， 则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（ ）．

333666

（A）3 （B）3 （C）3999 （D）32001

6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． （A）2枝玫瑰价格高 （B）3枝康乃馨价格高 （C）价格相同 （D）不确定 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________． 8、若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=

3

-I,则z1z2= 。 2

9、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1 ，则直线A1C1与BD1的距离是 。 10、不等式

13

2 的解集为 。

log1x2

2

11、函数y x x2 3x 2的值域为

12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，

相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案。

二、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1 a1，b2 a2，b3 a3（a1<a2）,又

n

222

lim(b1 b2 bn) 2 1，试求{an}的首项与公差。

x222

14、设曲线C1:2 y 1(a为正常数)与C2:y=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。

a

（1） 求实数m的取值范围（用a表示）；

（2） O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0<a<

1

时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。 2

15、用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。

二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题

（10月4日上午10：00—12：00）

学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、（本题满分50分）

如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB

交于

点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。 二、（本题满分50分） 设xi 0(I=1,2,3, ,n)且

x

i 1

n

2

i

2

1 k j n

n

k

xkxj 1，求 xi的最大值与最小值。 ji 1

三、（本题满分50分）

将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些 …… 此处隐藏：2732字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……