线性代数期末考试题目及答案(3)

12 142 12 142 101/56/54/5 0 53 7 3 01 3/57/53/5 01 3/57/53/5 00 00 00 000000000

--------------------8分

所以通解为X (4/5,3/5,0,0)T k1( 1/5,3/5,1,0)T k2( 6/5, 7/5,0,1)T,k1,k2 R 或

---------------------------10分

X (4/5,3/5,0,0)T k1( 1,3,5,0)T k2( 6, 7,0,5)T,k1,k2 R

八、计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果。本题10分）

3 12

设 1是矩阵A 0 14 的一个特征值。

t01

（2） 求参数t的值；

（2） 求对应于 1的所有特征向量。 解

：

1

是特征值，所以有 I A I A 0

-----------------------------------------------------------2分 由于

2

I A 0

t

10

2

2 4 0

，所以t可取任意实数

--------------------------------------------------------5分

解

(I A)X 0

(0,2,1)T

-----------------------------------------------------------------------------------------------------6分

得基础解系

---------------------------------------------------------------------------------------------8分 所

以

特

征

向

量

为

k(0,2,1)T,k 0

--------------------------------------------------------------------------10分

九、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） (1) 设A,B都是n阶矩阵，且A可逆，证明AB与BA相似；

证明：要证AB与BA相似，即要证存在可逆矩阵P，使得P 1(AB)P BA

---------------2分

由题意知，A可逆，又有

A 1(AB)A BA

---------------------------------------------------------------4分 所以有AB与BA相似；

(2) 设b1 a1 a2,b2 a2 a3,b3 a3 a4,b4 a4 a1，证明向量组b1,b2,b3,b4线

性相关。

方法一：观察可得b1 b3 b2 b4，所以有b1,b2,b3,b4线性相关。---------------------------------5分

方法二：

1 1

(b1,b2,b3,b4) (a1,a2,a3,a4)

0 0 001

100 110

011

------------------------------------------------------2分

又有

1

1 0 0 001

100

0

110

011

---------------------------------------------------------------------------------------------3分

根据

1

1

R(b1,b2,b3,b4) R

0 0 001

100 110

011

知，

R(b1,b2,b3,b4) 3

-----------------------------------------4分 所以有b1,b2,b3,b4线性相关。

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07—08第一学期期末考试试卷

【请注意：将各题题号及答案写在答题纸上，写在试卷上无效】 一、 填空题（要求在答题纸相应位置上，不写解答过程，本大题共5个小题，每小题3

分，共15分）。

1.设4 4矩阵A= , 2, 3, 4 ，B= , 2, 3, 4 ，其中 , , 2, 3, 4,均在4维列向量，且已知A=4，B=1，则行列式A B； 2.设A为n阶矩阵，A 0，A*为A的伴随矩阵，若A有特征值 ，则A*的一个特征值为 ；

3.设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且R A =n-1，则线性方程组AX=0

的通解为 ；p133

4.设 a1,a2, ,an ， b1,b2, bn 为非零向量，且满足条件 , 0，

TT

记n阶矩阵A ，则A2； 5.设二阶矩阵A=

T

13 712 与B=相似，则x= ,y= 。

24 yx

二、 单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案。并将其代号写在答题

纸相应位置处。答案错选或未选者，该题不得分。每小题3分，共15分）。

1. 设三阶矩阵A的特征值为1，2，3，则A2 2I=【 】 A. 0 B. 24 C. 14 D. 20 2. 设有向量组 1 1 12

4 ， 2 0312 ， 3 30714 ，

4 1 220 ， 5 21510 则该向量组的极大无关组是【 】

A. 1, 2, 3 B. 1, 2, 4 C. 1, 2, 5 D. 1, 2, 4, 5

3. n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的【 】 A. 充分必要条件 B. 充分而非必要条件

C. 必要而非充分条件 D.即非充分也非必要条件 4.设A为n阶方阵，且A=0，则 【 D】

A. A中至少有一行（列）的元素为全为零 B. A中必有两行（列）的元素对应成比例

C. A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 D. A中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合 5.设A、B为同阶可逆矩阵，则【 D】 A. AB=BA

B.存在可逆矩阵P，使PAP B C.存在可逆矩阵C，使CTAC B D.存在可逆矩阵P和Q，使PAQ B

三、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分）

1

ab

计算行列式D bd

ac cdcf

aede ef

bf

四、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分）

100 *

设A满足A 0 20满足ABA=2BA-8I ，求B

001

五、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分）

kx1 x2 x3 k 3

根据K的取值求解非齐次线性方程组 x1 kx2 x3 2

x x kx 2

3 12

六、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分） 设A为三阶矩阵， 1, 2, 3是线性无关的三维列向量，且满足A 1 1 2 3,

A 2 2 2 3, A 3 2 2 3 3,

（1）求三围矩阵B，使A 1

2 3 = 1 2 3 B；（2）求矩阵A的特征值。

七、 计算题（要求在答题纸相应位置上写出详细计算步骤及结果，本题12分）

2 20

用正交矩阵将实对称矩阵A 21 2对角化。 0 20

八、 证明题（要求在答题纸相应位置上写出详细证明步骤，本大题共2小题，每小题5

分，共10分）

设A,B是两个n阶反对称矩阵，证明：AB-BA是n阶反对称矩阵。

设X1，X2为某个齐次线性方程组的基础解系，证明：X1 X2，2X1 X2也

是该齐次线性方程组的基础解系。

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07-08第一学期期末考试试卷参考答案

试卷代码：03043A 授课课时：48 课程名称：线性代数 适用对象：本科 试卷命题人试卷审核人一、填空题（本大题共5个小题，每个小题3分，共15分）

1 1A

1.40 2. 3.k k R 4.0 5.-2，-1

1

二、单项选择题（每个小题3分，共15分）

1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 三、计算题（本题12分）

1

D abcdef1

1 11

1

1(6') 4abcdef(6') 1

1

四、计算题（本题12分） |A| 2 (2')

(2I A*

)BA 8I (2') 而A*

|A|A

1

2A 1故(I A 1)BA 4I (2')

上式左乘A，右乘A 1得(A I)B 4I (2') B 4(A I) 1