江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷15(2)

“MN≤k恒成立”，其中

k是一个确定的正数．

（1）设函数 f(x)=x2在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；

1mm 1（2）求证：函数g(x) lnx在区间 e，e (m R)上可在标准k=下线性近似．

8

（参考数据：e=2.718，ln(e－1)=0.541） 【解】（1）由ON=λOA+(1－λ)OB得到BN=λBA， 所

以

B，N，A三点共

线， 2分

又由x=λ x1+(1－λ) x2

同． 4分

对于 [0，1]上的函数y=x2，A(0，0)，B(1，1)， 则有所

21

MN x x x

2

与向量ON

=λ

OA+(1－λ )OB

，得N与M的横坐标相

2

11

，故MN 0

4 4

； 值

范

围

是

以k的取

1， ． 6分

4

mm 1

（2）对于 e，e 上的函数y lnx，

A(

e，m

m

)，

B(em 1，m 1)， 8分

则

y m

e

m 1

直线AB的方程

m1

(x e)， 10分 m

e

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令h(x) lnx m 于

h (x)

e

m 1

mmm 11

e (x e)，其中x e， m R ， m

e

是

11， 13分 m 1

m

xe e

列表如下：

又

h(e

m 1

e) ln e 1

m

e 2e 1

0.123

18

，从而命题成

立． 16分 20．(本小题满分16分)

已知数列{an}满足a1 a2 an n2(n N*)． （1）求数列{an}的通项公式；

（2）对任意给定的k N*，是否存在p，r N*（k p r）使111成等差数列？

ak

ap

ar

若存

在，用k分别表示p和r（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；

（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为an,an,an．

1

2

3

【解】（1）当n 1时，a1 1；

当n≥2，n N*时，a1 a2 an 1 (n 1)2， 所以an n2 (n 1)2 2n 1；

综

an 2n 1(n N

*

上所述，

．) 3分

ak

ap

ar

1213 2p

（2）当k 1时，若存在p，r使111成等差数列，则 ，

ar

ap

ak

2p 1

因为p≥2，所以ar 0，与数列{an}为正数相矛盾，因此，当k 1时不存在； 5分

ap y，ar z， 当k≥2时，设ak x，则

x1

1z 2y

，所以z

xy2x y

， 7

分

令y 2x 1，得z xy x(2x 1)，此时ak x 2k 1，ap y 2x 1 2(2k 1) 1， 所以p 2k 1，ar z (2k 1)(4k 3) 2(4k2 5k 2) 1，

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所以r 4k2 5k 2；

综上所述，当k 1时，不存在p，r；当k≥2时，存在p 2k 1,r 4k2 5k 2满足题设.

10分

（3）作如下构造：an (2k 3)2，an (2k 3)(2k 5)，an (2k 5)2，其中k N*，

1

2

3

它们依次为数列{an}中的第2k2 6k 5项，第2k2 8k 8项，第2k2 10k 13项， 12分

显然它们成等比数列，且an an an，an an an，所以它们能组成三角形．

1

2

3

1

2

3

由k N*的任意性，这样的三角形有无穷多

个． 14分

下面用反证法证明其中任意两个三角形A1B1C1和A2B2C2不相似： 若三角形A1B1C1和A2B2C2相似，且k1 k2，则整理得

2k1 52k1 3

2k2 52k2 3

(2k1 3)(2k1 5)

(2k1 3)

2

(2k2 3)(2k2 5)

(2k2 3)

2

，

，所以k1 k2，这与条件k1 k2相矛盾，

因此，任意两个三角形不相似．

故命题成

立． 16分 【注】1．第（2）小题当ak不是质数时，p，r的解不唯一；

2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设n1 n2 n3，且an，an，an符合题意，

1

2

3

则公比q>1，因an an an，又an an an，则1 q q2，所

以

1

2

3

1

2

3

1 q

因为三项均为整数，所以q

为 1

内的既约分数且an1

含平方数因子，经验证，仅含12或32时不合，所以

an1 (2k 3)p(k，p N)；

2

*

3．第（3）小题的构造形式不唯一．

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数学II（附加题）

21．【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20．．．．．．．．．分，

解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点， 过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°， ∠BPC=40°，求∠MPB的大小．

【解】因为MA为圆O的切线，所以MA2 MB MC． 又M为PA的中点，所以MP2 MB MC． 因

为

BMP PMC

，分

所以

BMP∽ PM．C 5

于是 MPB MCP． 在

△MCP

中

，

由

MPB MCP BPC BMP 180

，得

∠MPB=20°． 10分 B．选修4—2：矩阵与变换

已知二阶矩阵A ，矩阵A属于特征值 1 1的一个特征向量为 1 ，属c d 1 于特征值

2 4的一个特征向量为 2 ．求矩阵A．

2 3

a b

1

【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1 1 1， 即

a b 1 1

1

c d 1 1

，得

， a b 1

5分

c d 1.

， 3a 2b 12， 3c 2d 8

同理可得

b 3， c 2， d 1．因此矩阵 解得a 2，

A

2 3

． 10分 2 1

C．选修4—4：坐标系与参数方程

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在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为 标系原

x 2cos ， y sin

为参数 ．以直角坐

点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

cos π

4

P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．

【解】 cos π cos sin 4，

4

则直线l的直角坐标方程为

x y 4． 4分

设点P的坐标为 2cos ，sin ，得P到直线l

的距离d

即

cos

sin

d，其

中

8分

sin

-1

当

dm

ax

时

，

10分

D．选修4—5：不等式 …… 此处隐藏：2054字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……