江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷15

高考专题复习

江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷15

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 曲线y x3 2x在点（1,－1）处的切线方程是 2． 若

1 5i3 i

a bi（a，b R，i

为虚数单位），则ab= ▲ ．

3．命题“若实数a满足a≤2，则a2 4”的否命题是命题（填“真”、“假”之一）． 4． 把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm3的27个小正方体，现

从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．

5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例

分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分． 6．设M aa (2，0) m(0，，1) n(1， 1)，n R 1)，m R 和N bb (1都是元素为向量的集

合，则M∩N= ▲ ．

7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的

a= ▲ ．

8．设等差数列 an 的公差为正数，若a1 a2 a3 15，a1a2a3 80，

则a11 a12 a13

9．设 ， 是空间两个不同的平面，m，n是平面 及 外的两条不同直线．从“①m⊥n；

② ⊥ ；③n⊥ ；④m⊥ ”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．

10．定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(x+2)，当x 3，5 时，f(x)=2-x-4．下列四个

不等关系：fsinπ<fcosπ；f(sin1)>f(cos1)；fcos2π<fsin2π

6

6

3

3

f(cos2)>f(sin2)．

()()()()

；

其中正确的个数是 ▲ ．

11．在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x

2

y

2

3

1的左、右焦点，△ABC 的

顶点

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C在双曲线的右支上，则

sinA sinB

sinC

的值是 ▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy中，设点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，定义：

d(P，Q)=x1-x2+y1-y2． 已

知点B(1，0)，点M为直线x-2y+2=0上的动点，则使d(B，M)取最小值时点M的坐标是

▲ ．

13．若实数x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤10000，则x z的最小值为 ▲ ．

y

t

14．在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数 ， ，使得

22

OC= OA OB，则 3 的取值范围是

【填空题答案】

1. x－y－2=0 2. 8 3. 真 4. 26

25

27

5. 2 6. 2，0 7. 12 8. 105 9. ①③④ ②（或②③④ ①） 10. 1 11. 12. 13 13. 1 14. 2，

50

12

2

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

如图，平面PAC 平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO

的中点，AB BC AC

4，PA PC ．求证： （1）PA 平面EBO； （2）FG∥平面EBO．

【证明】由题意可知， PAC为等腰直角三角形，

ABC

为等边三角形． 2分

（1）因为O为边AC的中点，所以BO AC，

因为平面PAC 平面ABC，平面PAC 平面ABC AC，

BO 平面ABC，所以BO 面PAC

． 5分

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因为PA 平面PAC，所以BO PA，

在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，所以OE PA， 又BO OE O，所以PA 平面EBO； 8分

（2）连AF交BE于Q，连QO．

因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，

所以AO 2，且Q是△PAB的重心， 10分

OG

于是分

AQQF

2

AO

，所以OG

FG//QO. 12

因为FG 平面EBO，QO 平面EBO，所以FG∥平面EBO． 14分

【注】第（2）小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH//平面EBO证得.

16．（本小题满分14分）

已知函数f(x) 2cosx

2xx

sin． 22

ππ

，且f( ) 1，求 的值； （1）设

2

2

（2）在△ABC中，AB=1

，f(C) 1，且△ABC

，求sinA+sinB的值．

【解】（1

）f(x) 2

分

由

cosx

x2

2sin

x2

cos

x2

cosx) sinx=2cosx π ． 3

6

2cosx

π

6

1，得

π1

， 5分 62

于

x

π2

是

或π6

x

π6

2kπ

π3

(k Z)

，因为

ππ

x

22

，

所以

． 7分

π6

（2）因为C (0，π)，由（1）知C 分

因为△ABC

． 9

1π

absin，于是ab . ① 26

在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b

.

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由余弦定理得1 a2 b2 2abcos

π6

22

a b 6，所以a b 7． ②

22

由①②可

得

a 2，

b 或

a b 2.

于

是

a b 2

12分

由正弦定理得sinA sinB sinC 1，

a

b

1

2

所

s

Ai

nB

以

1

． 14分 as b i 1

217．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：x2

a

2

yb

22

1(a b 0)的左、右顶点分别

为A1、A2，

上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1的倾斜角的正弦值为1，圆C与以线段OA2为

3

直径的圆

关于直线A1B1对称． （1）求椭圆E的离心率；

（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由； （3）若圆C的面积为 ，求圆C的方程． 【解】（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），

因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为1，所

以

3

1

， 3

于是

e

a 8b 22

，即

a 8(a c)

222

，所以椭圆分

E的离心

率

4（2

）由e 可设a 4k k

0 ，c

，则b ， 于是A1B

1的方程为：x 4k 0， 故

OA2

的中点 0 2k,到

A1B1

的距离

d

2k 4k

3

2k， 6分

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又以OA2为直径的圆的半径r 2k，即有d r， 所

以

直

线

A1B1

与圆

C

相

切． 8分 （3）由圆C的面积为 知圆半径为1，从而k 1，

2