《数字信号处理》(2-7章)习题解答(3)

k 0到k 19的其它DFS系数等于0。

2、求下列序列的N点DFT: (1) x(n) 1 (2) x(n) (n)

(3) x(n) (n n0)，其中0 n0 N (4) x(n) a 0 n N

(5) x(n) u(n) u(n n0),其中0 n0 N (6) x(n) e

j2

mnN

n

,0 m N

(7) x(n) cos (8) x(n) e

j 0n

2

mn ,0 m N N

RN(n)

(9) x(n) sin( 0n) RN(n) (10) x(n) cos( 0n) RN(n)

解：(1) 由DFT的定义

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kn

X(k) 1 WN e

n 0

n 0

N 1

N 1 j2 kn

N

1 e

j

2 kNN2kN

1 e

j

N, k 0 0, k 1,2, ,N 1

(2) 单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义得到：

nk

X(k) (n)WN 1,

n 0N 1

0 k N

另一种方法是利用DFT相当于X(z)在单位圆上作N点等间隔采样的结果这一定义来求解，由于X(z) 1,所以X(k) 1。

(3) x(n)的DFT仍然可以直接由定义计算。这里采用第二种方法，DFT相当于X(z)在单位圆上作N点等间隔采样。由于X(z) z采样，求得

n0k

，0 k N X(k) WN

n0

k

，对X(z)在z WN,k 0,1, ,N 1上

(4) 由DFT的定义

X(k) x(n)W

n 0N 1n 0

N 1

nk

N

nk

anWNn 0

N 1

kn

(aWN)

1 a

, 0 k Nk

1 aWN

kn0

1 WN

k

1 WN

N

(5) 由DFT的定义

X(k) W

n 0

n0 1

nkN

从分子中提出复指数WN

kn0/2

k/2

，从分母中提出复指数WN，则DFT可以写为

X(k) W

k(n0 1)/2

N

2 kn0 1 kn0/2kn0/2

j()sin(n k/N)WN WN0N2 e,0 k N k/2k/2

WN WNsin( k/N)

(6) 由DFT的定义

X(k) e

n 0

N 1

j

2

mnN

W

knN

e

n 0

N 1

j

2

(m k)nN

(7) 由DFT的定义

1 e

j

2

(m k)NN2

(m k)N

1 e

j

N, k m 0 k N

0, k m