《数字信号处理》(2-7章)习题解答(2)

z31z 1

Z x1(n 3) , z ，Z x2( n 1) ,0 z 3

121 z1 z23

所以

z3z 13z31

Y(z) Z x1(n 3) Z x2( n 1) , z 3

1 z 11 z(z 3)(z )2232

8、 求以下序列x(n)的频谱X(e)。 (1) (n n0) (2) e(3) e

( j 0)n

j

an

u(n)

u(n) (4) e anu(n)cos( 0n)

解：对题中所给的x(n)先进行z变换再求频谱， (1) x(n)的z变换为

X(z) Z x(n) Z (n n0) z n0

所以

X(ej ) X(z)|z ej e jn0

(2) x(n)的z变换为

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an

X(z) Z e u(n)

1

1 e az 1

所以

X(ej ) X(z)|z ej

(3) x(n)的z变换为

11 e ae j

( j 0)n

X(z) Z eu(n)

11 e ( j 0)z 1

所以

X(ej ) X(z)|z ej

(4) x(n)的z变换为

1

1 e e j( 0)

1 z 1e acos 0

X(z) Z eu(n)cos( 0n) 1 2z 1e acos z 2e 2a

an

所以

1 e j e acos 0

X(e) X(z)|z ej j a 2j 2a

1 2eecos 0 ee

j

9、设X(e)是如题9图所示x(n)信号的傅里叶变换，不必求出X(e)，试完成下列计算： (a) X(e) (b)

j0j

j

X(ej )d

dX(ej )

d

d

2

(c)

X(ej )d (d)

2

n

题9图

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解：(a) X(e)

j0

n

x(n)e

j0 n

n

x(n) 12.5；

(b)

X(ej )d X(ej )ej0d 2 x(0) 2 ；

(c) 由帕塞伐公式可得

X(e)d 2

j

2

n

x(n) 66.5

2

(d) 因为

X(e)

所以

j

x(n)e n

j n

dX(ej )

( jn)x(n)e j n d n

即

dX(ej )DTFT ( jn)x(n)

d

由帕塞伐公式可得

2

dX(e)2

d 2 |( jn)x(n)| 2 n2x2(n) 718.5

d n n

j

10、已知x(n)的傅里叶变换X(e)，用X(e)表示下列信号的傅里叶变换。

j

j

x ( n) x(n)

(a) x1(n) x(1 n) x( 1 n) (b)x2(n)

2

(c) x3(n) (n 1)2x(n)

解：(a) 因为

DTFT x(n) X(ej )

那么

DTFT x(1 n) e j X(e j ) DTFT x( 1 n) ej X(e j )

所以

j j j

DTFT[x1(n)] X(e j ) e e 2X(e)cos

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(b) 由于

DTFT[x ( n)] X (ej )

所以

X (ej ) X(ej ) j

DTFT[x2(n)] Re X(e) 2

(c) 由题9的第(d)个小题

dX(ej )dX(ej )

DTFT nx(n) j

( j)d d

同理

djdX(ej )d2X(ej )

DTFT nx(n) j d (d ) d 2

2

所以

2

DTFT x3(n) DTFT n x(n) 2DTFT nx(n) DTFT x(n)

d2X(ej )dX(ej )

2j X(ej )2

d d

11、已知用下列差分方程描述的一个线性时不变因果系统 y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1) (a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位脉冲响应； (c) 画出系统的结构框图；

(d) 若n 0时，y(n) 0，x(n) 2 (0.4)u(n), 求输出y(n)。

解：(a) 对差分方程两边进行z变换，得到

n

Y(z) Y(z)z 1 Y(z)z 2 X(z)z 1

因此

Y(z)z 1

H(z)

X(z)1 z 1 z 2

零点：z0 0；

极点：z1

，z2 。 ；零极点图及其收敛区域如题11解图由于系统为因果系统，

因此收敛域为z

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(1)所示。

(b) 利用部分分式有

z 1

H(z)

1 z 1 z 2

由于收敛域为z

，所以

nn

1 1 u(n)

h(n) 2 2

z

题11解图(1)

(c) 系统的结构框图如题11解图(2)所示。

(d) 根据题意可知，

x(n题11解图(2)

X(z)

那么

2

,z 0.4 1

1 0.4z

z 12

Y(z) H(z)X(z) 1 2 1

1 z z1 0.4z

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2 11 0.4z

收敛域为z

1，对Y(z)进行z反变换，可得

2

n 1

n 1 n 1n 1 0.4 0.4

y(n) u(n)

12、研究一个输入为x(n)和输出为y(n)的时域线性时不变因果系统，已知它满足

y(n)

51

y(n 1) y(n 2) x(n) 66

试求其系统函数和单位脉冲响应。

解：对差分方程两边进行z变换，得到

51

Y(z) Y(z)z 1 Y(z)z 2 X(z)

66

因此系统函数为

H(z)

Y(z)1

51X(z)1 z 1 z 266

它的极点为z1 分式有

111

和z2 。由于系统为因果系统，因此收敛域为z 。那么利用部分232

H(z)

所以单位脉冲响应为

23

1 11 z1 z32

n

1 n 1

h(n) 3 2 u(n)

3 2

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13、题13图是一个因果稳定系统的结构，试列出系统差分方程，求系统函数。当

b0 0.5,b1 0.14,a1 0.5时，求系统单位脉冲响应 , 画出系统零极点图和频率响应曲线。

a1

(n)

x(n)

题13图

解：假设加法器的输出为f(n)，由系统的结构框图可知

f(n) b0f(n 1) b1f(n 2) x(n)

y(n) a1f(n 1)

联立解得，

y(n 1)b0y(n)b1y(n 1)

x(n) a1a1a1

即

y(n) b0y(n 1) b1y(n 2) a1x(n 1)

对差分方程两边进行z变换得

Y(z) b0z 1Y(z) b1z 2Y(z) a1z 1X(z)

因此系统函数为

a1z 1Y(z)

H(z) 1 2

X(z)1 b0z b1z

当 b0 0.5,b1 0.14,a1 0.5时，系统函数为

0.5z 111

H(z)

1 0.5z 1 0.14z 21 0.7z 11 0.2z 1

它有一个零点z0 0，两个极点z1 0.7和z2 0.2，零极点图如题13解图(1)所示。由于系统是因果稳定系统，因此H(z)的收敛域为z 0.7，那么单位脉冲响应为

nn

h(n) 0.7 ( 0.2) u(n)

当系统是稳定系统时，频率响应H(e)就是H(z)在单位圆上的值，

j

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