《数字信号处理》(2-7章)习题解答

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第二章习题解答

1、求下列序列的z变换X(z)，并标明收敛域，绘出X(z)的零极点图。 (1) ()u(n) (2) ( )u(n) (3) ( 0.5)nu( n 1) (4) (n 1)

(5) ()[u(n) u(n 10)] (6) a,0 a 1

解：(1) Z 0.5u(n) 图(1)。

znn

(2) Z 4 u(n) 4 z n ，收敛域为z 4，零极点图如题1 n 0z 4

n

12

n

14

n

12

n

n

0.5nz n

n 0

z

，收敛域为z 0.5，零极点图如题1解

z 0.5

解图(2)。

(3) Z ( 0.5)u( n 1) 题1解图(3)。

(4) Z (n 1 z，收敛域为z ，零极点图如题1解图(4)。 (5) 由题可知，

nnn

Z (0.5)[u(n) u(n 10)] Z(0.5)u(n) Z(0.5)u(n 10)

n

n

0.5

1

n

z n

z

，收敛域为z 0.5，零极点图如

z 0.5

z 0.510

z 0.5z 0.510z 9

z 0.5

收敛域为z 0，零极点图如题1解图(5)。

(6) 由于

z 10 zz 0.5z10 0.510z9(z 0.5)

a anu(n) a nu( n 1)

那么，

n

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n

Z anu(n) Z a nu( n 1) Z a

zz 1z az az(a a 1)

(z a)(z a 1)

收敛域为a z a，零极点图如题1解图(6)。

z]

z]

z]

(1) (2) (3)

z]

阶

z]

z]

题1解图

2、求下列X(z)的反变换。 (1) X(z)

1

,z 0.5

1 0.5z 1

1 0.5z 11

,z (2) X(z)

3121 z 1 z 2481 2z 11

, z (3) X(z)

41 z 14

(4) X(z)

z a1

, z 1 aza

解：(1) 解法一：留数法

从收敛域z 0.5可以看出，x n 是因果序列，即当n 0时，x(n) 0。

n 1

X(z)z

1znn 1

z 1 0.5z 1z 0.5

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当n 0时，收敛域内围绕原点的逆时针方向的围线C及X(z)zn 1在围线内的极点

z1 0.5如题2解图(1)所示，因为

Res X(z)z

所以

n 1

zn n

,z 0.5 z 0.5 0.5 z 0.5

z 0.5

x(n) 0.5 ,n 0

n

综上，

x(n) 0.5 u(n)

解法二：部分分式展开法

n

X(z)

由于收敛域为z 0.5，所以

11

1 0.5z 11 0.5z 1

x(n) 0.5 u(n)

解法三：长除法

收敛域在圆外，是右边序列，按z的降幂排列。

n

1 0.5z 1 (0.5)2z 2 (0.5)3z 3 z z

z 0.5 0.5

0.5 (0.5)2z 1

(0.5)2z 1

(0.5)2z 1 (0.5)3z 2

(0.5)3z 2

(0.5)z (0.5)z

由于X(z) x(0)z x(1)z x(2)z

1

2

3

2

4

3

(0.5)4z 3

x(3)z 3 ，那么

，

x(n) 1, 0.5,( 0.5)2, ( 0.5)3,

所以

x(n) 0.5 u(n)

n

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(2) 解法一：留数法

从收敛域z 0.5可以看出，x n 是因果序列，即当n 0时，x(n) 0。

X(z)z

n 1

1 0.5z 1zn 1 0.5znn 1

z

3 11 211 1 z zz z 484 2

当n 0时，收敛域内围绕原点的逆时针方向的围线C及X(z)zn 1在围线内的极点

z1 4和z2 2如题2解图(2)所示，因为

n 1n

1 zn 1 0.5zn 1 1 1 n 1

Res X(z)z,z z 4 2

1 1 4 4 4 4 z z 4 2 z 1

4

n 1n zn 1 0.5zn 1111

Res X(z)zn 1,z z 4 2

1122 z 2 2 z 4 2 z 1

2

z]

Re[z]

所以

n

n

1 1 1 1

x(n) Res X(z)zn 1,z Res X(z)zn 1,z 4 3

4 2 2 4

综上，

n 1 n 1

x(n) 4 3 u(n)

4 2

解法二：部分分式展开法

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11 z 1

4343 X(z)

1 1 1 1 1 1z 11 1z 1 1 1 1 1

1 z1 z 1 z 1 z 24242 4

由于收敛域为z

1

，所以 2

n

1 n 1

x(n) 4 3 u(n)

4 2

(3) 由题可知

1 2z 17

X(z) 8

1 11 z1 z44

收敛域为z

1

，所以 4

x(n) 8 (n) 7 4 u( n 1)

n

(4) 由题可知

X(z)z a a1 a2

zz1 azz1 az

则

1 1

X(z) a a 1

a1 az

收敛域为z

1

，所以 a

1 1

x(n) ( a) (n) a u(n)

a a

11 1

(n) a u(n 1)

aa a

nn

3、假如x(n)的z变换代数表示式是下式，问X(z)可能有多少不同的收敛域，对应不同的收敛域求x(n)。

1 2

z X(z)

2 1 2

(1 z)(1 z z)

448

1

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解：对X(z)的分子和分母进行因式分解得

11(1 z 1)(1 z 1)

X(z)

(1 z 2)(1 z 1)(1 z 1)

424

11 z 1

1 1 1(1 jz)(1 jz)(1 z)

224 1 1 5j 1 5j15 13 1 1jz 11 1jz 11 3z 1

224

可以看出，X(z)的极点为z1 2，z2 2，z3 4。那么X(z)有三种不同的收敛域：z

1133

， z 和z 。下面分别讨论 2244

1

(1) 当收敛域为z 时，

2

1 j j 3 x(n) (1 5j) (1 5j) 15

13 2 2 4

(2) 当收敛域为

nnn

u( n 1)

13

z 时， 24

nnn

1 j j 3

x(n) ( 1 5j) u(n) ( 1 5j) u(n) 15 u( n 1)

13 2 2 4

(3) 当收敛域为z

3

时， 4

n

n

n

1 j j 3 x(n) ( 1 5j) ( 1 5j) 15

13 2 2 4

4、已知因果序列的z变换X(z)，求序列的初值x(0)和x( )。

u(n)

1 z 1 z 2

(1) X(z) 1 1

(1 z)(1 2z)

z 1

(2) X(z) 1 2

1 1.5z 0.5z

解：初值定理x(0) limX(z)，终值定理x( ) lim(z 1)X(z)。终值定理只有当

z

z 1

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n 时，x(n)收敛才可应用，即要求X(z)的极点必须在单位圆内（单位圆上的极点只

能位于 1，且是一阶极点。）若x(n)发散，则不存在终值。

(1) x(0) lim1 z 1 …… 此处隐藏：2541字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……