陈世民理论力学简明教程(第二版)答案第五张_刚体力学(3)

2

2252R

则冲击后角速度大小： 0

o

解得： o

24 一半径为r的匀质圆盘，在光滑的水平面上绕铅直的直径以角

速度 转动。证明： 时，圆盘旋转是稳定的.

解：如右图所示建立坐标系，得：

sin2 J* cos J* z 0,s J*

2

则：E (mr2cos2 J*) U( )

U( )

1

2

2(s J* cos )21J* 2

Jz mgrsin mgrsin

2J*sin2 22sin2

当稳定时：

dU( )

dU( )d

2

0,

d2U( )d

2

2

0

可得：

d dU( )d 2

2

2

2cos J*

2sin3

2

2

mgrcos

2

2

0

2

2 J*

sin 3cos

mgrcos 04

2sin

得： 对称重陀螺定点运动的稳定性即规则问题可以从两方面入手，规定运动（1）

dU( )d

2

0,

d2U( )d 2

2

0

0 （2）s Jz cos

由于（2）方面解题更快，下题采用此法

25 一陀螺由一半径为r的匀质圆盘和长为4的轴杆构成，圆盘的质量为4m，轴杆的质量为，此陀螺绕杆的端点O 作定点转动，如图所示，若欲使陀螺绕铅直轴作规则进动，且盘的最低点M保持与O点在同一水平面内，则陀螺的角速度在对称轴上的分量 z应满足什么条件？

解：依题及图可得：

1442352

Jz Jz盘 2mr2,J* Jx Jy m(r)2 2mr2 4m(r)2 mr

33327

0 再将 sin 代入 为规则进动时： x y

x J* y cos Jz z sin mglsin J*

2cos Jz z 6mgr 0 并化简得满足：J*

0 1 2 0, 1 2 0， 满足：

故只须满足： (Jz z)2 24mgrJ*cos 0

得： z

26

一对称陀螺初始时自旋角速率

，转轴与铅直轴间

角的夹角为 0 arccos()，尔后释放。求在此后的运动中，