任意角的正弦函数、余弦函数的定义

正弦、 正弦、余弦函数的性质

X

正弦、 正弦、余弦函数的图象和性质y1 -4π -3π -2π -π

o-1

π

2π

3π

4π

5π

6π

x

y=sinx (x∈R) ∈

∈ 定义域 x∈R ∈ 值 域 y∈[ - 1, 1 ] π 周期性 T = 2π1

y=cosx (x∈R) ∈y-4π -3π -2π -π

o-1

π

2π

3π

4π

5π

6π

x

正弦、余弦函数的奇偶性、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、 正弦、余弦函数的奇偶性y1 -4π -3π -2π -π

o-1

π

2π

3π

4π

5π

6π

x

sin(-x)= - sinx (x∈R) ∈

y=sinx (x∈R) 是奇函数 ∈ 定义域关于原点对称

cos(-x)= cosx (x∈R) ∈y1 -4π -3π -2π -π

y=cosx (x∈R) 是偶函数 ∈

o-1

π

2π

3π

4π

5π

6π

x

正弦、余弦函数的奇偶性、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦函数的单调性y1 -3π

5π 2

-2π

3π 2

-π

π2

o-1

π2

π

3π 2

2π

5π 2

x3π7π 2

4π

xsinx

π2

…

0 0

…

π2

…

π 0

…

3π 2

-1

1

-1

y=sinx (x∈R) ∈ π ] π ∈ 其值从-1增至 增至1 增区间为 [[ 2 +2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 其值从 增至 2 ,

2 3π π π 3π 减至-1 减区间为 [[ 2 +2kπ, +2kπ],k∈Z 其值从 1减至 ， 减至 2 π 2 ] π ∈

π π

π π

正弦、余弦函数的奇偶性、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性余弦函数的单调性y1 -3π5π 2

-2π

3π 2

-π

π2

o-1

π2

π

3π 2

2π

5π 2

x3π7π 2

4π

xcosx

-π π -1

…

π2

…

0 1

…

π2

…

π -1

0

0

y=cosx (x∈R) ∈ π π ∈ 增区间为 [ π +2kπ, 2kπ],k∈Z π π ∈ 减区间为 [2kπ, 2kπ + π], k∈Z , 其值从-1增至 其值从 增至1 增至 减至-1 其值从 1减至 减至

正弦、余弦函数的奇偶性、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性不通过求值，指出下列各式大于0还是小于 还是小于0: 例1 不通过求值，指出下列各式大于 还是小于 ： (1) sin( 解：Q Q Qπ2

) – sin( 18<

π

π10<

) 又 y=sinx 在[ )π, ]上是增函数 2 2 π π

π

10

<

π

π2

π π

18

sin( 5

π10

) < sin(

18

即：sin( 18 ) – sin( 10 )>017 cos( 17π )=cos 4π 4

(2) cos( 23π ) - cos( 解： cos( 23π )=cos 23π 5 5 Q Q0<

17π ) 4

=cos

π

cos

从而 cos( 23π ) - cos( 5

3π 5

4

<

3π <π 5

3π 5

=cos

π4

<cos

π4

又 y=cosx 在 [0, π ] 上是减函数 即： cos17π ) 4

3π 5

– cos

π

4

<0

<0

正弦、余弦函数的奇偶性、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性求下列函数的单调区间： 例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x ) 解：y=2sin(-x ) = -2sinx π π ∈ 函数在 [ 2 +2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 上单调递减 函数在 [π3π +2kπ, π 2 2

π

π

解： 2 k π ≤ 2 x π ≤ 2 k π + π

3π kπ ≤ x ≤ kπ + 4 2 8 8 3π 3π 7π π π kπ + 2 kπ + ≤ 2 x ≤ 2 kπ + ≤ x ≤ kπ + 2 4 2 8 8

3π π 所以： 所以：单调增区间为 [ k π , k π + ] 8 8 3π 7π , kπ + ] 单调减区间为 [ k π + 8 8

(2) y=3sin(2x-

Q

+2kπ],k∈Z上单调递增 π ∈π

π

4

)

正弦、余弦函数的奇偶性、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性(3) y= ( tan 9π )sin2x9 解： Q 0 < tan π < 1 88

单调减区间为 单调增区间为

[kπ

π4

(4) y = log 1 解： 定义域2

[

1 1 π cos( x + )] 2 3 4

4 3π π [kπ + , kπ + ] 4 4 <

, kπ +

π

1 π π x + < 2kπ + 2 3 4 2 9π 3π ,k ∈ Z 6 kπ < x < 6 kπ + 4 4 9π 3π π 1 π 为减区间。 当 2kπ < x + ≤ 2kπ 即 6kπ < x ≤ 6kπ , k ∈ Z 为减区间。 4 4 2 3 4 x π 9π 3π π 为增区间。 当 2kπ ≤ + < 2kπ + 即 6kπ ≤ x < 6kπ + , k ∈ Z 为增区间。 4 4 3 4 2 2kπ

Q

]

π

正弦、余弦函数的奇偶性、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性(5) y = -| sin(x+ )| 4 π 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 大致图象如下：4y 1 2π 3π 2

π

y=|sinu|π2

π

π2

O -1

π

3π 2

2π

u

即： 增区间为 u ∈ [ k π , k π ], k ∈ Z 2 减区间为 u ∈ [ k π , k π + π ], k ∈ Z Q

π

y=sinu y=- |sinu|

2 3π π x ∈ [kπ , kπ ], k ∈ Z y为增函数 为增函数 4 4 π π x ∈ [kπ , kπ + ], k ∈ Z y为减函数 为减函数 4 4

正弦、余弦函数的奇偶性、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性小 结：函数 奇偶性 [ 正弦函数 奇函数 [π2

单调性(单调区间) 单调性(单调区间)π

+2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 单调递增 π π ∈ +2kπ, π3π 2

π

2

+2kπ],k∈Z 单调递减 π ∈ 单调递增 单调递减

余弦函数

偶函数

[ π +2kπ, 2kπ],k∈Z π π ∈ [2kπ, 2kπ + π], k∈Z π π ∈

求函数的单调区间： 求函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间

正弦、余弦函数的奇偶性、 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性y=sinx (x∈R) 图象关于原点对称 ∈ 图象关于原点 原点对称

y1 -3π 5π 2

-2π

3π 2

-π

π2

o-1

π2

π

3π 2

2π

5π 2

x3π7π 2

4π

y=sinx