陈世民理论力学简明教程(第二版)答案第五张_刚体力学

第五张 刚体力学

平动中见彼此,转动中见分高低.运动美会让你感受

到创造的乐趣.走过这遭,也许会有曾经沧海难为水的感叹.别忘了,坐标变换将为你迷津救渡,同时亦会略显身手.

【要点分析与总结】

1 刚体的运动

（1）刚体内的任一点的速度、加速度（A为基点）

A r

a a d r

A dt

r

（2）刚体内的瞬心S：r 1

s rA

2

A 〈析〉

为基点转动的矢量和，

1 2

r r

A r

dr dt

dr dt dt d*r

Adr dt

r

AA r a d

d Ad r dt dt dt

r

值得注意的是：有转动时r 与 r 的微分，引入了

r

项。

2 刚体的动量，角动量，动能

（1）动量：P m

c

r

与

Lx Jxx

（2）角动量： L ri mi i Ly J Jyx

J L

zx z

JxyJyy Jzy

Jxz x

Jyz y

Jzz z

式中：

Jxx y2 z2 dm

22

转动惯量 Jyy z x dm

Jzz x2 y2 dm Jxx xydm

惯量积 Jyy yzdm

J zxdm zz

c Lc 且L rc m

* el方向（以l为轴）的转动惯量：

J el J el , , J

Jxx 2 Jyy 2 Jzz 2 2Jyz 2Jzx 2Jxy

（ , , 分别为el与x,y,z轴夹角的余弦） * 惯量主轴

惯量主轴可以是对称轴或对称面的法线

若X轴为惯量主轴，则含X的惯量积为0，即: Jxy Jxz 0

若x,y,z轴均为惯量主轴，则:L Jxxi Jyyj Jzzk

〈析〉建立的坐标轴轴应尽可能的是惯量主轴，这样会降低解题繁度。

1111 222 (3) 动能：T m c mi i m c Jc

2222i

1211

* 平面平行运动: T m c2 Jc 2

22

* 定轴转动时: T J 2

3刚体的动力学方程

与质点动力学方程相同。

〈析〉求角动量L时，须注意：

L J

x

J y

z

Jyx x Jyy y Jyz z j

Jzx x Jzy y Jzz z k

Jxx x Jxy y Jxz z i

4 刚体的定轴转动:

ez ez

L J Jzx i Jyz j Jzz k

T J 2

d2rc e

质心定理: m2 F

dt

e dL

角动量定理: M

dt

12

〈析〉须注意外力与外力矩包括轴对物体作用 5 刚体的平面平行运动 T m c2

12

1

J 2 2

d c

F mdtdL

Mz z J dt

6 刚体的定点运动

（1） 基本方程（以惯量主轴为坐标轴）

L J Lxi Lyj Lzk

dLdL

L dtdt

Lxi Lyj Lzk L M

d2rc 质心定理： m2 mrc F dt

机械能守恒：

1

Jxx x2 Jyy y2 Jzz z2 V E 2

〈析〉 为活动坐标系绕固定坐标系的转速

di

则有： i

dt

dLxd Lxi 如： dtdt

dLdi

xi Lx

dtdt

Lxi Lx i Lxi Lx

（2）欧拉方程（活动坐标系随刚体自旋）

dLd L

L M dtdt

写成分量形式：

J J M Jx xyzyzx

J J M Jy yzxzxy Jz z Jx Jy x y Mz

0可导出 const可以解释地球的纬〈析〉M 0时，Jz zz

度变迁。

（3）对称重陀螺的定点运动（活动坐标系不随刚体自旋） 三个角速度：

k 自旋： e 进动：

章动： i

k e 总角速度： i

k sin j cos i x

sin 即 y cos z

由于对称；Jx Jy J

dLdL

代入 L

dtdt

M lk mge

mglsin i

x Jx y cos Jz z sin mglsin Jx 0 y Jx x cos Jz z 可得： J Jz z 0

k sin j cos 代入： i

cos 可整理出；

J 2J

2sin2 z 2 mglcos E

22

2sin2 Jz cos S J

2 s Jz cos 2J2 J z

mglcos E 222Jsin 2 2J

U 2

〈析〉可以用势函数U 来判断进动的规则性，

dU d2U

如：规则进动时， 0, 0

d d 2

另外，也可用S来判断，（其实更简单）。

0 规则进动时：

[解题演示]

1． 一长为l的棒AB，靠在半径为r的半圆形柱面上，如图所示。今A点以恒定速度 0沿水平线运动。试求:(1)B点的速度 B;(2)画出棒的瞬时转动中心的位置.

解：如右图所示建立坐标系xoy，依图知:

dr rcos )i i 0i rA (

dtsin sin2

2

sin 0

得:

rcos

B A k rBA

0sin2 0i k ( lcos i lsin j)

rcos 32 lsin lsin

0(1 )i 0j

rcos r

瞬心S满足： rS rA

1

2

( A)

r

sin

r

sin

1 i 2( k 0i)

rcos

i j2

sin

如上图所示.

2． 一轮的半径为r，竖直放置于水平面上作无滑动地滚动，轮心

以恒定速度 0前进。求轮缘上任一点（该点处的轮辐与水平线成 角）的速度和加速度。

解：如右图所示建立坐标系xoy, 则:

C 0i, A C ( k) ( rj)

得：

0

r

故： B C ( k) (rcos i rsin j)

0(1 sin )i 0cos j

r ( r) aB aC BCBC

0 0 ( k) [ ( k) (rcos i rsin j)]

02

r

(cos i sin j)

3． 半径为r的圆柱夹在两块相互平等的平板A和B 之间，两板分别以速度 1和 2反向运动，见图。若圆柱和两板间无相对滑动，求（1）圆柱瞬心位置；（2）圆柱与板的接触点M的加速度。 解：如右图所示建立坐标系xoy，设瞬心在S点。

M N rMN 2i k 2rj ( 2 2 r)i 1i

得：

( 1 2)

2r

（1）rS rM

2r 1 r( 2 1)

( ) rj ( )j j 12 1 2 1 21

2r ( 1 2) 1 1

j) j （2）aM aS rMS ( rMS) k ( k

1 22r

4． …… 此处隐藏：1851字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……