高考数学(理)二轮练习【专题3】(第1讲)三角函数的图象与性质(含

第1讲 三角函数的图象与性质

考情解读 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．

1．三角函数定义、同角关系与诱导公式

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x， y

tan α＝各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

xsin α

(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，tan α.

cos α

kπ

(3)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

22．三角函数的图象及常用性质

3.三角函数的两种常见变换 (1)y＝sin x―————————―→ 平移|φ|个单位

向左 φ>0 或向右 φ<0

y＝sin(x＋φ)

y＝sin(ωx＋φ)―———————―→ 横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．

纵坐标变为原来的A倍

(2)y＝sin x

φy＝sin ωx―—————―→ 平移|个单位

ω

向左 φ>0 或向右 φ<0

y＝sin(ωx＋φ)―———————―→ 横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．

纵坐标变为原来的A倍

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系

2π

例1 (1)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1

逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的

3坐标为( ) 13

A．(－，

2213C．(－)

22

B．(－D．(－

31

2231) 22

(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则π

cos ＋α sin －π－α

2

的值为________．

11π9πcos α sin α

22

思维启迪 (1)准确把握三角函数的定义．(2)利用三角函数定义和诱导公式． 3答案 (1)A (2)－4

解析 (1)设Q点的坐标为(x，y)， 2π12π3

则x＝cos，y＝sin＝.

32321∴Q点的坐标为(－)．

22

－sin α·sin α

(2)原式＝tan α.

－sin α·cos α根据三角函数的定义， y3

得tan α＝，

x43

∴原式＝－4

思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．

(1)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于

34sin 2α＋cos 2α＋1－， ，则点P，已知点P的坐标为 ＝________. 5

5 1＋tan α3π3π

sin ，cos 落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值(2)已知点P 44 为( )

π3π5π7π

B. C. D.444418

答案 (1) (2)D

25

解析 (1)由三角函数定义， 34

得cos αsin α，

55

2sin αcos α＋2cos2α2cos α sin α＋cos α

∴原式＝＝sin αsin α＋cos α1＋

cos αcos α3182＝. ＝2cos2α＝2× 5253πcos －cos

44

(2)tan θ＝＝1，

3πsin sin

44又sin

3π3π

>0，cos ， 44

7π

所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝.

4热点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式

π

例2 (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象

2

π

向右平移( )

6

A．y＝sin 2x 2π

C．y＝sin(2x＋

3

B．y＝cos 2x π

D．y＝sin(2x6

π

(2)若函数y＝cos 2x＋3sin 2x＋a在[0，]上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为

2________．

π

思维启迪 (1)先根据图象确定函数f(x)的解析式，再将得到的f(x)中的“x”换成“x－”即可．

6(2)将零点个数转换成函数图象的交点个数． 答案 (1)D (2)(－2，－1]

3T11ππ2π

解析 (1)由图知，A＝1，T＝π＝

4126ωπ

所以ω＝2，又函数图象过点(，1)，代入解析式中，

6πππ得sin(φ)＝1，又|φ|<φ＝.

326ππ

则f(x)＝sin(2x＋)向右平移后，

66

πππ

得到y＝sin[2(x－＋)＝sin(2x－)，选D.

666π

(2)由题意可知y＝2sin(2x＋＋a，

6

πππ

该函数在[0上有两个不同的零点，即y＝－a，y＝2sin(2x＋在[0上有两个不同的交点．

262

结合函数的图象可知1≤－a<2，所以－2<a≤－1.

思维升华 (1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．

π

(1)如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)与坐标轴的三个交点P、

2

π

Q、R满足P(2,0)，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝25，则A的值为( )

4

8

3 3C．8

16B.3 3D．16

πππ

(2)若将函数y＝tan(ωxω>0)y＝tan(ωx＋)的图象

466重合，则ω的最小正值为( ) 1

61 3

答案 (1)B (2)D

解析 (1)由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)． aa

则M(，由两点间距离公式得，

22PM＝

Tπ

22＋ 2＝25，解得a＝8，由此得，＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝

2226

1

B. 41D. 2

π

由P(2,0)得φ＝－f(x)＝Asin(ωx＋φ)得，

3ππ

f(x)＝Asin(－)，

63π

从而f(0)＝Asin(－＝－8，

316得A＝3.

3

πππωππ

(2)y＝tan(ωx＋)的图象向右平移，得到y＝tan(ωx的图象，与y＝tan(ωx＋重合，

46466πωππ1

得＝kπ＋ω＝－6k＋，k∈Z， 46621∴ω2

热点三 三角函数的性质

例3 设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

π

(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．

6思维启迪 先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图)． π

解 (1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin(2x＋＋1＋a，

42π

则f(x)的最小正周期T＝＝π，

2

πππ3π

且当2kπ－2x＋2kπ＋(k∈Z)时f(x)单调递增，即kπ－≤x≤kπk∈Z)．

242883ππ

所以[kπ－kπ＋k∈Z)为f(x)的单调递增区间．

88πππ7π

(2)当x∈[0，]时2x＋≤

64412ππππ

当2xx＝sin(2x＋＝1.

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