数值分析-第五章 常微分方程数值解(2)

+1 = yn + h f ( xn , yn ) 公 3 h2 式 Rn+1 = y( xn+1 ) yn+1 = 2 y′′( xn ) + O(h ) 隐 yn +1 = yn + h f ( xn +1 , yn +1 ) 式 3 h2 公 Rn+1 = y( xn+1 ) yn+1 = 2 y′′( xn ) + O(h ) 式

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

§1 Euler’s Method

若将这两种方法进行算术平均， 若将这两种方法进行算术平均，即可消除误差 的主要部分/*leading term*/ 的主要部分 而获得更高的精度,称为梯形法 而获得更高的精度 称为梯形法

梯形公式 /* trapezoid formula */ — 显、隐式两种算法的平均 隐式两种算法的平均h yn +1 = yn + [ f ( xn , yn ) + f ( xn +1 , yn +1 )] 2

注：的确有局部截断误差 Rn +1 = y ( xn +1 ) yn +1 = O(h ) , 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。 即梯形公式具有 阶精度，比欧拉方法有了进步。但 注意到该公式是隐式公式， 隐式公式 注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代 其迭代收敛性与欧拉公式相似。 法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。3

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

梯形法的迭代计算和收敛性 0 yn +1 = yn + h f ( xn , yn ) ( k +1) h ( ) yn +1 = yn + f ( xn , yn ) + f ( xn +1 , ynk 1 ) + 2 收敛性y( k +1) n +1

§1 Euler’s Method

y n +1

h ( ) = f ( x n +1 , y nk 1 ) f ( x n +1 , y n +1 ) + 2k +1

h hL (k ) ( ≤ L y n +1 y n +1 ≤ L ≤ y n 0 )1 y n + 1 + 2 2 2 hL ( 当 h < 时， < 1, ∴ y n k + 1 ) → y n + 1 ( k → ∞ ) +1 L 2 在迭代公式中取极限，有 h y n +1 = y n + [ f ( x n , y n ) + f ( x n +1 , y n +1 ) ] 2 ( ) 因 此 y n k 1的 极 限 就 是 隐 式 方 程 的 解 +

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

梯形法的简化计算

§1 Euler’s Method

迭代计算量大，且难以预测迭代次数。为了控制计算量， 迭代计算量大，且难以预测迭代次数。为了控制计算量，通常只迭代 一次就转入下一点的计算。用显式公式作预测，梯形公式作校正， 一次就转入下一点的计算。用显式公式作预测，梯形公式作校正，得到如 下预测校正系统， 下预测校正系统，也称为改进尤拉法：

改进欧拉法 /* modified Euler’s method */Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 y n+1 = y n + h f ( x n, y n) 先用显式欧拉公式作预测 显式欧拉公式作预测， Step 2: 再将 yn+1 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到 代入隐式梯形公式的右边作校正 隐式梯形公式的右边作校正，

h yn+1 = yn + [ f ( x n, yn) + f ( x n+1 , y n+1 )] 2

h yn+1 = yn + f (xn , yn ) + f ( xn+1, yn + h f (xn , yn )) 2