数值分析-第五章 常微分方程数值解

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

第五章 常微分方程数值解/* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */

待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题 待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value 常微分方程的 Problem */: dy = f ( x, y) dx y(a ) = y0 x ∈ [a , b ]

解的存在唯一性( 常微分方程”理论):只要 解的存在唯一性(“常微分方程”理论):只要 f (x, y) ): 条件， 上连续， 在[a, b] × R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 ( x, y ) f ( x, y ) | ≤ L| y y | |f1 2 1 2

都成立，则上述IVP存 对任意定义在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述 存 在唯一解。 在唯一解。

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

如何求解解析解法：(常微分方程理论) 解析解法：(常微分方程理论) :(常微分方程理论 只能求解极少一类常微分方程； 只能求解极少一类常微分方程；实际中给定的问题不一 定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法。 定是解析表达式，而是函数表，无法用解析解法。 数值解法: 数值解法 求解所有的常微分方程 计算解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值yi ≈ y( x i ) ( i = 1, ... , n )

为步长，通常采用等距节点 等距节点， 节点间距 hi = xi+1 xi (i = 0, ... , n 1) 为步长，通常采用等距节点， 常数)。 常数 即取 hi = h (常数 。 步进式：根据已知的或已求出的节点上的函数值计算 步进式： 当前节点上的函数值，一步一步向前推进。 当前节点上的函数值，一步一步向前推进。因此只需 建立由已知的或已求出的节点上的函数值求当前节点 函数值的递推公式即可。 函数值的递推公式即可。

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

§1 欧拉方法 /* Euler’s Method */

§1 Euler’s Method

y ( xn +1 ) ≈ y ( xn ) + hy ′( xn ) ↑ y ( xn ) ≈ y n y ( xn +1 ) ≈ yn +1 = yn + h f ( xn , yn )

Taylor展开法 展开法

yn +1 = yn + h f ( xn , yn )

n = 0, 1,...

--------Euler’s Method

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

几何意义

几何直观是帮助我们寻 找解决一个问题的思路 的好办法哦 亦称为欧拉折线法 亦称为欧拉折线法/* Euler’s polygonal arc method*/

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

§1 Euler’s Method

显然，这种近似有一定误差， 显然，这种近似有一定误差， 而且步长越大，误差越大， 而且步长越大，误差越大， 如何估计这种误差y(x 如何估计这种误差 n+1) yn+1 ?

步计算是精确的前提下， , 定义 在假设 yn = y(xn),即第 n 步计算是精确的前提下，考 虑公式或方法本身带来的误差: 称为局部 虑公式或方法本身带来的误差 Rn = y(xn+1) yn+1 , 称为局部 截断误差 /* local truncation error */。 。

说明

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

§1 Euler’s Method

截断误差: 实际上， 也有误差，它对y 截断误差 实际上，y(xn) ≈ yn, yn 也

有误差，它对 n+1的误差 也有影响，见下图。但这里不考虑此误差的影响， 也有影响，见下图。但这里不考虑此误差的影响，仅考虑方 法或公式本身带来的误差，因此称为方法误差或截断误差。 法或公式本身带来的误差，因此称为方法误差或截断误差。 局部截断误差的分析：由于假设 准确， 局部截断误差的分析：由于假设yn = y(xn) ,即yn准确，因此 都用点x 分析局部截断误差时将y(x 分析局部截断误差时将 n+1) 和 yn+1都用点 n上的信息来表 工具： 展开。 示，工具：Taylor展开。 展开 欧拉法的局部截断误差： 欧拉法的局部截断误差：

′(xn ) + y′′(xn ) + O(h3 )] Rn+1 = y(xn+1) yn+1 = [ y(xn ) + hyh2 2

Rn+1 的主项/* leading term */

[ yn + hf (xn , yn )] = y′′(xn ) + O(h3 )h2 2

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

若某算法的局部截断误差为O(hp+1),则称该算法有 ，则称该算法有p 定义 若某算法的局部截断误差为 阶精度。 阶精度。 阶精度。 欧拉法具有 1 阶精度。

§1 Euler’s Method

在第二章讨论牛顿插值公式时 差商的概念和性质 介绍了差商的概念和性质， 介绍了差商的概念和性质， 各阶差商可以近似各阶导数，具有不同的精度， 各阶差商可以近似各阶导数，具有不同的精度， 且可以用函数值来表示。 且可以用函数值来表示。 上一章中数值微分的方法之一 就是用差商近似导数 在xn点用一阶向前差 商近似一阶导数

y ( xn +1 ) ≈ y ( xn ) + hy ′( xn )Euler’s method

y ( x n +1 ) y ( x n ) y ′( x n ) ≈ h

↑ y ( xn ) ≈ y n y ( xn +1 ) ≈ yn +1 = yn + h f ( xn , yn )

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

欧拉公式的改进：隐式欧拉法或后退欧拉法 /* implicit Eulermethod or backward Euler method*/

§1 Euler’s Method

xn+1点向后差商近似导数

y( xn+1 ) y( xn ) y′( xn+1 ) ≈ h y ( xn +1 ) ≈ y ( xn ) + hy ′( xn +1 )

↑ y ( xn ) ≈ y n y ( xn +1 ) ≈ yn +1 = yn + h f ( xn +1 , yn +1 )隐式或后退欧拉公式

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

0 yn +1 = yn + h f ( xn , yn ) ( k +1) ( ) yn +1 = yn + h f ( xn +1 , ynk 1 ) + 收敛性

同时出现在等式的两边，故称为隐式 由于未知数 yn+1 同时出现在等式的两边，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公 欧拉公式，而前者称为显式 隐式公式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式 式。隐式公式不能直接求解，一般需要用 显式公式 得到初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐式公 隐式公式迭代求解。 得到初值，然后用 隐式公式迭代求解 式较显式公式计算复杂，但稳定性好(后面分析)。 式较显式公式计算复杂，但稳定性好(后面分析)。

§1 Euler’s Method

( ( ) y n k +1) y n +1 = h f ( x n +1 , y nk 1 ) f ( x n +1 , y n +1 ) +1 +

≤ hL y Q

(k ) n +1

y n +1 ≤ L ≤ (

h L ) ∴

k +1

( y n 0 )1 y n + 1 +

h L < 1,

( y nk +1) → y n +1 ( k → ∞ ) +1

在迭代公式中取极限，有 y n +1 = y n + h f ( x n +1 , y n +1 )( ) 因 此 y n k 1的 极 限 就 是 隐 式 方 程 的 解 +

数值分析-第五章 常微分方程数值解 呵呵~

几何意义设已知曲线上一点 Pn (xn , yn ),过该 过该 点作弦线，斜率为(x 点作弦线，斜率为 n+1 , yn +1 ) 点的 方向场f(x,y)方向 若步长 充分小， 方向,若步长 充分小， 方向场 方向 若步长h充分小 可用弦线和垂线x=xn+1的交点近似 可用弦线和垂线 曲线与垂线的交点。 曲线与垂线的交点。

§1 Euler’s Method

y Pn+1 Pn y(x)

xn

xn+1

x

见上图， 显然，这种近似 …… 此处隐藏：3544字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……