高等数学课后习题答案第五章(3)

1

12

(x 3x 2)dx

0 (x

1

2

2

3x 2)dx

1313322 (x3 x2 2x)1 (x x 2x)1 1 0

3232

2、计算下列积分 （1）、

5

1

x 1

x

解：设x 1 t,dx 2tdt

5

1

2

22t1x 1

2(1 )dt 4 2arctant 2 2 2001 tx1 t

2

2(2 arctan2)

（2）、

e

e1xlnx(1 lnx)

1

4

1

214

解：

4

e

xx(1 lnx)

1(1 u)

1214

111()2 ( u)22

1

( u) 22

高等数学课后习题答案

140

11

()2 t22

arcsin2t

140

6

（3）、

a

x2a2 x2dx

解：设x asint.,dx acostdt

a

2

2

2

2

4

x

2

a xdx 2asintacostdt a

22

2

(sin2t sin4t)dt

13 a4

a( )

28216

4

（4）、

3

1x

2

1

x

2

dx

2

解：设x tant.dx sectdt

3

1

x2

11sec2t33 dsint dx dt 4sin2t2

sinttantsect x24

1

34

2

2

2 3

（5）、

2

2

(x 3)4 xdx

2

2

2

x4 xdx 3

2

2

2

4 xdx 6

2

4 x2dx

6(

xx2

4 x2 2arcsin)0 6 22

（6）、

a

2

1(a x)

23

dx

2

解：设x atant.dx asectdt

a

1(a2 x2)3

dx 4

asec2t24costdt dt 0a3sec3t2a2

（7）、

2

x

f(x)dx 其中 f(x) 2 10 x 2

2 x 3 x

2

解：

3

x

f(x)dx ( 1)dx

02

x2x22

2xdx (4 x)0 2

3

32

11 2

（8）、

5

2

x2 10 x 1

f(x 2)dx 其中 f(x) 2x

e1 x 3

解：设x 2 t,dx dt

高等数学课后习题答案

5

2

f(x 2)dx

3

f(t)dt (t 1)dt

1

2

3

1

t3e2t1

edt ( t)0

32

2t

3

1

416

(e e2) 32

3、计算下列积分

（1）、

2

eosc

2x

dx

2cosx nis

5

x

e

2x2

1

(e 2) 5

（2）、

os c

1

3

x 1dx

解：设x 1 t,dx 2tdt

3

1

2

cosx 1dx 2 tcostdt 2tsint0 2cost

2

2

4sin2 2cos2 2

（3）、

nis

34

x

2

x

dx xcotx

34

3

3cotxdx lns

3344

x

34

113

( ) ln 4922

（4）、nicasr(

1

x)2dx xnicasr(x)2

1

2 xnicasr

1

x

1 x

2

dx

2

4

2 xarcsinx 2 dx

2

1

1

2

4

2

（5）、nicasr

0

1

xdx

解：设

x t,dx 2tdt xdx

2 tarcsintdt tarcsint

01

2

1

arcsin

1

1

t2 t

2

dt

2sinu 1

2du (1 ) 201224

（6）、

elnxe1lnx212e12e

)dx lnx 2dx lnx 2 1122 1x 11xexxx

122e5 1 2

eexe

e

(

4、证明证明：

sinxdx 2 2sinnxdx

n

sinxdx

n

2

sinxdx

n

2

sinxdx

n

20

sinnxdx sinntdt

2

高等数学课后习题答案

20

sinnxdx

20

sinnxdx 2

20

sinnxdx（在后一个积分中设 x t）

5、计算（利用In

20

sinnxdx的公式）

（1）

20

sin4xdx

3!! 3

4!!216

（2）、

nis

5

xdx

2 2sin5xdx 2

4!!16

5!!15

（3）、

cos

5

xdx

2 nis

24

5

xdx

0

4

（4）、

is n

2

xcosxdx

co(s

x cos

6

s(x)dx 2 20

4

x nis

6

x)dx

315 2( )

848216

（5）、

(1 x

1

2

)dx2

m

2

解：设x sint.dx costdt

m!!

m 1 (m 1)!!22m 12(1 x)dx cosxdx m!! 0 0

(m 1)!!2

（6）、

m 2k 1

m 2kdtt

12

nis2

4

nis

4

2xdx

12

nis20

4

dtt

1

nis2 0

4

dtt

2

3

sin4tdt

8

6、利用例7（2）的结论计算 （1）、（2）、

xnisxnis

xosc

3

2

dx

2

2

xoscdx

n

3

282 (sin3x sin5x)dx ( ) 2031515

1

isxcos n

2

xdx

2

1

u2du

7、证明：

x

1

m

(1 x)dx xn(1 x)mdx

1

证明：设1 x t.dx dt

1

xm(1 x)ndx (1 t)mtndt xn(1 x)mdx

1

01

8、设函数f(x)在[a,b]上连续，证明证明：设a b x t.dx dt

b

a

f(a b x)dx

b

a

f(x)dx

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