高等数学课后习题答案第五章(2)

x1(x2 x1)f( 2) x1(x2 x1)f( 1)(x2 x1)[f( 2) f( 1)]

0（f(x)在[0, )

x1x2x2

x

上连续，非负且单调增加）

所以 (x)

f(t)dtx

在[0, )上单调增加。

7、如果f(x)是连续的周期函数，f(x T) f(x)，则积分证明：可以证明

a T

a

f(x)dx与a的选择无关

0a

a T

a

f(x)dx f(x)dx

0T

T

a T

a

f(x)dx f(x)dx f(x)dx

a T

a T

T

f(x)dx

a

a

而设x u T有 所以

T

f(x)dx f(u T)du f(u)du f(x)dx

a

a T

a

f(x)dx f(x)dx，表明积分1与a的选择无关。

T

习题5-3(A)

1、计算积分 （1）、

3

sin(x

3

)dx n(is

31

x

3

)d(x

3

)

4 32 3

nist)dt cost

4

32 3

0

ex

（2）、 11 ex

1

1x

11 ex

2

1

(l1 t) e 11 tdt n

e

e

e 1

ln

1 e

lne 1 1

1 e

2

（3）、

2

ln(1 x)

1 x

(l1 x)dn(l1 x) n

ln2

u2

udu

2

ln20

1 l2

2

（4）、

xcosx2dx

2

1osc 02

x2d(x2)

1

oscud 02

0

（5）、

os c

26

1

udu 2(1 cos2u)du 2

26

高等数学课后习题答案

1

1

（6）、

4

sinxcosxdx

3

1

40

is

3

xdnis(x)

2

udu 4u

340

2

1

16

（7）、

2

cosx

2

1 sinx

2

x3

1

atcra 01 u2 n

u10

4

（8）、

3

1

13x3127u13

xedx ed(x) edu (e27 1)

31303

1

（9）、

2

1

22ex1x24eudu eu ed() 1 1

x3x2e

2

1

1

1

41

e e 12u2

3 2

2e1 lnx

dx (1 lnx)d(1 lnx) ud（10）、 111x

2

1

（11）

2a

x3a x

2

2

dx

1113a2122

(3a x) 2

a022223a x

（12）、

3a2

a2

(3 1)a

2

x 1

x2 1

1212

(1 x) 2 02x 1

2

11122

dx [ln(1 x) arctanx] ln5 arctan2 02

22x 1

3、证明：如果f(x)在[ a,a]上连续 （1）、当f(x)在[ a,a]上是偶函数时，（2）、当f(x)在[ a,a]上是奇函数时，证明：（1）、设f( x) f(x)有

a

a

a

f(x)dx 2 f(x)dx

a

a

a

f(x)dx 0

a

a

a

a

f(x)dx f(x)dx f(x)dx

a

a

a

f( x)d( x) f(x)dx f(x)dx f(x)dx 2 f(x)dx

a

（2）、设f( x) f(x)有

a

a

a

f(x)dx f(x)dx f(x)dx

a

a

a

0a

f( x)d( x) f(x)dx f(x)dx f(x)dx 0

a

4、利用上题结论计算 （1）、

4

4

4

(x3 2) x2dx

2

4

4

x3 x2dx 2

4

4

x2dx

4

1

xdx 4 216cos2tdt 64 16

022

高等数学课后习题答案

x3nisx x

0 （2）、 2x4 2x2 1

2

x3 x2

dx （3）、 11 x2

1x3

11 x2

121xx2

11 x2 2 01 x2 1

2 (1

1

1 1

)dx 2 2arctanx 2 0

21 x2

（4）、

1

1

(sin3xtanx

1

2

x3 x2x3 x2

x2)dx

1

1

1

1

(sin3xtanxdx

2

1

1

xdx 2 x2dx

2

2

3

5、计算下列积分 （1）、

11 x x x1 x

exedx ( xe) ( e)dx0 0 0

e12

10

1

2 e

（2）、

tnis tdt (

t

2 2 0

cos t)0 ( cos t)dt

2

2

12x2112

22xcosxdx (x xcos2x)dx ( xnis2x) is2xdx （3）、 0 0002444

2

1

cos2x168

2

20

2

16

2

1 4

（4）、

2

xcosxdx xnis

2

x

2

2 2xnis

xdx

2

4

2xcosx

2

2 2cosxdx

2

4

2

1118

is4xdx xcos4x0 8cos4xdx （5）、 8xsin2xcos2xdx 8xn

0208801 sin4x32

（6）、（7）、

8

1 32

10

10

1

tt

t2etdt t2et10 2 tedt e 2te

2et

1

e 2e 2e 2 e 2

e 1

(l1 x)n(lx 1)dx xn

e 1

e 1

e 1x1

dx e 1 (1 )dx

01 x1 x

1

e 1 (e 1) ln(1 x)e 1 0

高等数学课后习题答案

（8）、

e 1

x21e 1x2e 1

(l1 x)0 dx xn(lx 1)dx 2201 x

(e 1)21e 11(e 1)21(e 1)21 1

(x 1 )dx (e 1) ln(1 x)e 0

0221 x2242(e 1)211e2 3

(e 1)

4224

（9）、

20

esinxdx

x

nis

x cosxx

e2

20

20

1

(e2 1) 2

（10）、

2

arctan2xdx xarctan2x

2

2x

1 4x2

11 1222

arctan 2(1 4x) arctan ln(1 4x)0 20241 4x24

1

arctan ln(1 2) 24

（11）、

3

2

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