高等数学课后习题答案第五章

高等数学课后习题答案

第五章 定积分习题解答

习题5-1 (A)

1、利用定义计算 （1）、

(2x 3)dx

2

解：将区间[0,2]n等分， xk

n

22k

，取xk nn

nnn

n(n 1)k2k211

6 10 lim (2 3) lim8 2 lim6 4lim lim6 2n n n n n nnnk 1nk 1k 1nk 1n

（2）、

1

exdx

1k

，取 k nn

解：将区间[0,1]n等分， xk

n

k

111

e 1 lim en (e 1)limn nn ne 1k 1

1

n

22

nn

注意到：e e e

e[(e) 1]e 1

1n

1n1n

n

及lim

11

lim

n n 1n

1ne 1

1n

1即可。

2、利用几何意义，确定下列积分的值 （1）、（2）、

30

3

2

2dx 是长为5高为2的长方形的面积

2dx 10

2

3

半径为3的圆在第一象限的面积所以 9 x2dx是圆心在原点，

2

3

9 x2dx

9

4

（3）、

is n

2

xdx 0，由于两块面积值相等而符号相反

17

是高为两底分别为3、4的梯形的面积。 22

（4）、（5）、

2

12

(x 2)dx (4 3) 2x x2dx

2

，是圆心在点(1,0)半径为1的圆面积的一半。

3、由定积分的性质比较大小 （1）、I1

x

1

2

dx I2 x3dx

1

23

解：由于0 x 1所以x x，所以I1 I2

（2）、I1

4

2

xdx I2 x3dx

2

4

3

解：由于2 x 4所以x x，所以I1 I2

高等数学课后习题答案

（3）、I1

edx I

2

x

2

e 2xdx

2

x 2x

解：由于0 x 2所以e 1 e，所以I1 I2

3

（4）、I1

is n

2

dx

I2

2

sinxdx

3

解：由于0 x 4、估值 （1）

2

所以0 sinx 1，所以sinx sinx 所以 I1 I2

2

1

(1 x3)dx

解：f(x) 1 x3 f (x) 3x2 0(x 0)，函数单调增加，2 f(x) 1 23 9 所以2 （2）、

2

2

1

(1 x3)dx 9

1

01 x2dx

1 2x

， f(x) 22

1 x(1 x)

解：f(x)

当x 0函数单调增加，当x 0函数单调减少

1

f(2) f(x) f(0) 1， 5

221

dx 2 所以 2051 x

1

（3）、e

x2

dx

1 x2

所以 edx 1

e0

1

解：由于e

1

1

e

x2

e

（4）、

1

1 x0

11

1 所以 201 x

1

11

1 解：由于

21 x

(B)略去不做 习题5-2

b

1、如果用f(x)的不同的原函数来计算

f(x)dx，结果一样吗？

a

解答：一样。设F(x)与G(x)都是f(x)的原函数，则G(x) F(x) C

高等数学课后习题答案

b

f(x)dx F(b) F(a)，

ab

f(x)dx G(b) G(a) [F(b) C] [F(a) C] F(b) F(a)

a

2、积分

1

能使用牛顿——莱不尼兹公式计算吗？为什么？ 2 (1 x) 1

1

解答：不能。因为被积函数在积分去件内不连续。

3、计算

1

1

（1）、xdx 2xdx

13

4

4

2

5

（2）、

13

ln(x 1)1 ln4 ln2 ln2 x 11

1

（3）、(3x2 x 1)dx (x3

02

123

x x)1 0

22

（4）、(x 1)dx

12

2452

xx1 1 2 333

2

（5）、(2ex )dx [2ex 4lnx]1 2e(e 1) 4ln2

120

4

x

2

（6）、(2 x)(3 2x)dx ( 2x2 x 6)dx (

3

2312262

x x 6x)0 323

（7）、

x 12103

(xx 2x) 43 2 2 33x2

（8）、

is (3x n

33

x)dx (x2 cosx)0 (1 2)

282

2

（9）、nis(

02

x cosx)dx ( cosx nisx) 0 2

（10）、

lnx12212

dx lnx1 ln2 x221

高等数学课后习题答案

（11）、

11x

arctan

aaa2 x2

3a0

3a

1

2

（12）、

2

1 x

2

2nicsarx

1

20

3

12

10 x 1 x

（13）、 f(x)dx 其中f(x) 12

x1 x 2 0

2

2

1

解：

f(x)dx (x 1)dx

1213121 (x x) xxdx0 2621

2

2

1

8 3

2 x0 x 1

3 （14）、 f(x)dx 其中f(x) x

e1 x 0 2

3

2

32

131 x

解： f(x)dx xdx edx (x)0 e

3001

2

1

3

2

x

321

11

e2 3e

3

4、求下列函数的导数

x

dy dx

（1）y ln(t 2)dt

2

解：

dy

lnx(2 2) dx

2x

（2）y

1

dt 2 01 2t

2x

dyd1d(2x)2

解： [ dt] 2dxd(2x)01 2t2dx1 8x

1

x2

（3）y

x2

22

arctantdt arctantdt

1

d(x2)dyd24

[ arctantdt] 2xarctanx 解： 2

dxdxd(x)1

x

x2

（4）y

sin

3

tdt

高等数学课后习题答案

dydd(x)1

[ sin3tdt]解： sin3x

dxd(x)0dx2x

(B)

1、计算下列定积分

x

3x4 3x2 1

（1）、 2

x 1 1

3x4 3x2 112

3x 解：由于所以

x2 1x2 1

3x4 3x2 1 30

dx [x arctanx) 1 12 4x 1 1

（2）、

12 e2

ln(1 x) ln3 ln(2 e) ln 1 e 1 x3 1 e

2

2

2

cos2x

(cosx sinx)dx (sinx cosx)02 2 （3） sinx cosx00

2 2

（4）、

2 sinxdx sinx nisxdx ( cosx) cosx 4 0

2

（5）、nis

1

x

12

kxdx coskx0 0

k

121

e

（6）、 2 ex

1x

4

2

e e

42

（7）、

11x 1

ln2 2x 12x 1

3

2

2

ln

35

3

（8）、

(2 x)dx (2 …… 此处隐藏：1765字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……