三角函数复习教案 整理(2)

32 分析 由于cos(α－β)=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式，而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式，所以将已知式两边平方．

11

解 ∵sinα－sinβ=－， ① cosα－cosβ= ， ②

32

① ＋② ，得2－2cos(α－β)= ∴cos(α－β)=

72

． 59

2

2

13

． 36

点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异．

2cos10°-sin20°

例2 求 的值 ．

cos20° 分析 式中含有两个角，故需先化简．注意到10°=30°－20°，由于30°的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角．

解 ∵10°=30°－20°，

∴原式=

=

2cos(30°-20°)-sin20°

cos20°

2(cos30°cos20°+sin30°sin20°)-sin20°3 cos30°

=．

cos20° cos20°

点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法．

例3 已知：sin(α+β)=－2sinβ．求证：tanα=3tan(α+β)．

分析 已知式中含有角2α+β和β，而欲求式中含有角α和α+β，所以要设法将已知式中的角转化成欲求式中的角．

解 ∵2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)－α，

∴sin［(α+β)+α］=－2sin［(α+β)－α］．

∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=－2sin(α+β)cosα+2cos(α+β)sinα． 若cos(α+β)≠0 ，cosα≠0，则3tan(α+β)=tanα．

点评 审题中要仔细分析角与角之间的关系，善于运用整体思想解题，此题中将α+β看成一个整体

【知能集成】

审题中，要善于观察已知式和欲求式的差异，注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想． 【训练反馈】

π34

1．已知0＜α＜β＜π，sinα=，cos(α+β)=sinβ等于 （ ）

255

A．0 B．0或2．

242424

C． D．0252525

sin7°+cos15°sin8°

的值等于 （ ）

cos7°－sin15°sin8°

三角函数复习教案 整理

2－2+ C．2－ D． 22

3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为 （ ）

A．2+ B． A．

π5ππ5ππ2π B． C． 或 D． 666633

π1

cosα的值是 ． 63

4．若α是锐角，且sin(α－

π2π3π

5．coscos ．

777

11

6．已知tanθ=tanφ=，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．

23

π3π44

7．已知cos(α－β)=cos(α+β)= α－β）∈（π），α+β∈（，2

5522

π），求cos2α、cos2β的值．

tanα11

8． 已知sin(α+β)= ，且sin(π+α－β)= ，求

23tanβ

第4课 两角和与两角差的三角函数（二）

【考点指津】

掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；能灵活运用和角、差角、倍角公式解题． 【知识在线】

求下列各式的值

1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ． 1

2．cos15°+sin15°）= ． 23．化简1+2cos2θ－cos2θ= ．

4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= 11

5．－ ． 1－tanθ1＋tanθ【讲练平台】

例1 求下列各式的值

（1）tan10°＋tan50°+ tan10°tan50°； (2)

（tan12°-3）csc12°

． 4cos 12°-2

(1)解 原式=tan(10°+50°)（1－tan10°tan50°）+3 tan10°tan50°=． （2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦．

三角函数复习教案 整理

33sin12°1

（3）

cos12° sin12°

解 原式= =cos12 sin12

2 cos24°2cos24

=

3sin12 3cos12 2sin12 cos12 cos24

23(

1sin12 12

3cos12 )

sin48

=

43sin(12 60 )

sin48

43.

点评 （1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式tanA+tanB=tan(A+B)（1－tanAtanB），asinx+bsinx=

a b

2

2

sin(x+φ)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦是常

用的变换方法．

1+sin4θ-cos4θ1+sin4θ+cos4θ

例2 求证 = ．

2 tanθ 1-tanθ

分析 三角恒等式的证明可从一边开始，证得它等于另一边；也可以分别从两边开始，证得都等于同一个式子；还可以先证得另一等式，从而推出需要证明的等式．

由欲证的等式可知，可先证等式

1+sin4θ-cos4θ2tanθ

= ，此式的右边等于tan2 1+sin4θ+cos4θ 1-tanθ

θ，而此式的左边出现了“1－cos4θ”和“1+cos4θ”，分别运用升幂公式可出现角2θ，sin4θ用倍角公式可出现角2θ，从而等式可望得证．

证略 点评 注意倍角公式cos2α=2cos2α－1，cos2α=1－2sin2α的变形公式：①升幂公式1+cos2α=2cos 2α，1－cos2α=2sin2α，②降幂公式sin2α=

1-cos2α1＋cos2α

，cos2α= 22

的运用；三角恒等式证明的方法：从一边推得另一边；左右归一，先证其等价等于等式；分

析法等．

π7πsin2x＋sin2xtanx317π

例3 已知+x)= x＜

45124 1-tanx

π

tanx

sin2x（1＋tanx）π4

解 原式= ³=sin2xtan（+x）

1-tanxπ4

4

tan

πππ

= －cos［)］tan(x+－［2cos2(x+ )－1］tan（+x）

444∵

17π7π5ππ

x＜ ∴ x+＜2π． 12434

ππ44

，∴tan+x ）=－ ． 4543

28

． 75

∴sin(

∴原式 = －

三角函数复习教案 整理

点评 （1）注意两角和公式的逆用；（2）注意特殊角与其三角函数值的关系，如1=tan等；（3）注意化同角，将所求式中的角x转化成已知条件中的角x+ 【知能集成】

π

4

π

4

在三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意如下公式： tanA+tanB=tan(A+B)［1－tanAtanB］；

asinx+bcosx=a bsin(x+φ)及升幂、降幂公式的运用． 【训练反馈】

1．cos75°+cos15°的值等于 （ ） A． 2．a=

6 B － C． － D． 2222

2

2

2sin17°+cos17°），b=2cos13°－1，c= （ ） 22

A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c

1+sin2θ-cos2θ

3= ．

1+sin2θ+cos2θ

4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β．

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