随机信号分析(第3版)习题及答案(3)

RX( ) e，RY( ) cos2 ，试求：

（1）Z(t) X(t) Y(t)的自相关函数； （2）W(t) X(t) Y(t)的自相关函数； （3）互相关函数RZW( )。 3.9解：

(1)RZ(t ,t) E[Z(t )Z(t)] E{[X(t ) Y(t )] [X(t) Y(t)]} E[X(t )X(t)] E[Y(t )Y(t)] RX( ) RY( ) e cos(2 )

(2)RW(t ,t) E[W(t )W(t)] E{[X(t ) Y(t )] [X(t) Y(t)]} E[X(t )X(t)] E[Y(t )Y(t)] RX( ) RY( ) e cos(2 )

(3)RZW(t ,t) E[W(t )Z(t)] E{[X(t ) Y(t )] [X(t) Y(t)]} RX( ) RY( ) RXY( ) RYX( )

又由于X(t)与Y(t)零均值相互独立，同时彼此正交，则RXY( ) RYX( ) 0 RZW(t ,t) RX( ) RY( ) e cos(2 )

3.10 3.11

3.12 广义平稳随机过程Y(t)的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。

21.30.4__ __21.20.8 0.41.2__1.1 0.9____2

3.12解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到：

21.30.40.9 21.20.8 C=

0.41.21.1 0.92

3.13

22

3.14 对于两个零均值广义平稳随机过程X t 和Y t ，已知 X 5， Y 10，问下

述函数可否作为自相关函数，为什么？ （1）RX

5u exp 3 ； （2）RX 5sin 5 ；

（3）RY 91 2

2 1

； （4）RY cos 6 exp ；

2

sin 3 sin 10 （5）RX 5 ； （6）。 R 6 4 Y

3 10

（6）RX

5exp( )； （7）RY 6 4exp( 3 2)。

解：根据平稳随机信号相关函数的性质，

(1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否，RY(0) 9 2Y (4) 否，RY(0) 1在原点不是非负

(5)是 (6) 是 (7) 是 (8) 是

3.15

3.16 已知随机过程X(t)和Y(t)独立且各自平稳，自相关函数为

RX( ) 2ecos 0 与RY( ) 9 exp( 3 2)。令随机过程Z(t) AX(t)Y(t)，其中A是均值为2，方差为9的随机变量，且与X(t)和Y(t)相互独立。求过程Z(t)的均值、方差

和自相关函数。 解：

Z(t)的均值:

E[Z(t)] E[A X(t) Y(t)] 　　　　 E[A] E[X(t)] E[Y(t)]　　　　 2E[X(t)] E[Y(t)]

2mX RX( ) lim

2cos 0 e

0 mX 0

E[Z(t)] 0

Z(t)的相关函数：

Rz(s,t) E[A2X(s) Y(s) X(t) Y(t)] E[A2] E[X(s) Y(s) X(t) Y(t)] 13 E[X(s) X(t)] E[Y(s) Y(t)] 13 RX( ) RY( ) 26 e

2

cos 0 (9 e 3 )

Z(t)的方差：

D[Z(t)] RX(0) 26 10 260

3.17 3.18

3.19 平稳信号X(t)的功率谱密度为

2

（1）SX( ) 4

3 2 2

（2）S( )

8 ( ) 20(1 /10),

0,

10

10

求它们的自相关函数和均方值。 解：

(1)

2 12

SX( ) 4

3 2 2 2 1 2 2

1 IFT

e 2

RX( )

RX(0)

1 2

(2) 根据傅立叶变换的对称性，有:

RX( )

820 2 2

4sin2(T

T )

,其中，T 10 2

RX( ) 4/ mX2 D[x(t)] 20T/ RX(0) 204/

3.20

3.21 下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？

2

sin

（1）

2

（2）

3 3

62

（3）

( ) 4

1

2

4

（4）

j 1

( 1)2

62

（5）

42

2 1

（6） e

3.21 判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。

(1)是。 (2)是。

(3)不是， 0时值为负数。 (4)不是，功率谱为复数，与判断原则相悖。 (5)是。 (6)不是，因为它不是偶函数。

3.22 X(t)是平稳随机过程，证明过程Y(t) X(t T) X(t)的功率谱是

SY( ) 2SX( )(1 cos T)

3.22

Y(t)的相关函数：

RY( ) E[ X(t T) X(t) X(t T) X(t ) ]

E[X(t T) X(t T) X(t) X(t ) X(t) X(t T) X(t T) X(t )]

2RX( ) RX( T) RX( T) 2Sx( ) Sx( )e

3.23

FT

j T

Sx( )e

j T

2Sx( ) (1 cos T)

3.24 设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为

9e 3

RXY( )

0

求互谱密度SXY( )与SYX( )。 3.24

0

0

9

SXY( )3 j

9

SYX( ) SXY*( )

3 j

FT

RXY( )

3.25 设随机过程X(t)

aX(t),式中a是一组实常数。而随机过程X(t)为平稳

i

i

n

ii

i 1

的和彼此正交的。试证明：SX( ) 3.25

a

i 1

n

2

i

SXi( )

nnn

n Xi(t)相互正交2

RX( ) E aiXi(t) aiXi(s) E[ aiXi(t) Xi(s)] ai2RXi( )

i 1i 1i 1 i 1

n

ai2SXi( )

FT

i 1

3.31假定周期为T高为A的锯齿波脉冲串具有随机相位，如题图3.31所示，它在t 0

时刻以后出现的第一个零值时刻是[0,T)均匀分布的随机变量。试说明X(t)的一阶密度函数为

1/A

f(x;t)

0

x [0,T]

x [0,T]

3.31

题图3.31