随机信号分析(第3版)习题及答案(2)

2

02 0.2 12 0.8 0.82

0.8 0.8 0.8 1 0.8 0.8 0.2 0.16

2

所以随机变量X(n)的矩为：

均值：E[X(n)]

2

k 03

3

k

E[B(n k)] 2k 0.8 12

k 0

k2

3

方差：D[X(n)]

(2

k 0

)D[B(n k)] 4k 0.16 13.6

k 0

3

如果将4bit串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：

串平均： B n ,B n 1 ,B n 2 ,B n 3 0.8,0.8,0.8,0.8

串方差：

Var B n ,B n 1 ,B n 2 ,B n 3 0.16,0.16,0.16,0.16

（3）因为有P[B(n) = 0] = 0.2 ，P[B(n) = 1] = 0.8 ，P[B(n) = 1] > P[B(n) =

0]

可知出现概率最大的二进制数据为B(n) = 1 ，又由独立性可得， 概率达到最大的串为 1,1,1,1

（4）因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列

没有任何关系。所以如果见到1010后，下一位仍为0或1 ，而且仍然有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。

2.5 2.6

2.7 设质点运动的位置如直线过程X(t) Vt X0，其中V N(1,1)与

X0 N(0,2)，并彼此独立。试问：

（1） t时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？ （2） 它是可预测的随机信号吗？ 2.7 解：

（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布

E[X(t)] E[Vt X0] tE[V] E[X0] t

D[X(t)] D[Vt X0] t2D[V] D[X0] t2 2

所以它的一维概率密度函数为

:fX(x) (2) 此信号是可预测随机信号

2.8 假定（-1,+1）的伯努利序列 In,n 1,2,... 的取值具有等概特性。试问： （1） 它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？ （2） 它是可预测的随机信号吗？

(x t)2

2} 2(t 2)

2.8 解：

(1) fX(x) 0.5 (x 1) 0.5 (x 1)

E[In] 0.5(1 1) 0

E[In1]E[In2] 0n1 n2

C(n1,n2) R(n1,n2) E In1In2 ,2

n nE[X] 112n1

(2) 该随机信号不可预测

2.9

2.10 给定随机过程X(t)和常数a，试以X(t)的自相关函数来表示差信号

Y(t) X(t a) X(t)的自相关函数。

2.10 解： 由题意可得：

RY(s,t) E[Y(s)Y(t)]

E{[X(s a) X(s)][X(t a) X(t)]}

E[X(s a)X(t a)] E[X(s a)X(t)] E[X(s)X(t a)] E[X(s)X(t)] RX(s a,t a) RX(s a,t) RX(s,t a) RX(s,t)

2.11 两个随机信号X(t)=Asin(ωt+Θ)与Y(t)=Bcos(ωt+Θ)，其中A与B为未知随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，A、B与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，

（1）两个随机信号的互相关函数RXY(t1,t2)；

（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）与统计独立性；

题2.11 解：（1）RXY t1,t2 X t1 Y t2 Asin t1 Bsin t2

1 A B cos t1 t2 cos t1 t2 2 2

1

A B cos t1 t2 cos t1 t2 2 2

因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以 cos t1 t2 2 0， 上式RXY t1,t2

1

A B cos t1 t2 ； 2

（2）①如果E[A]或E[B]为0，则

RXY t1,t2 0，随机信号X(t)与Y(t)正交 ； ②因为Θ为0至2π均匀分布随机变量，所以有

X t Asin t 0， Y t Bcos t 0， CXY t1,t2 RXY t1,t2 X t1 Y t2 RXY t1,t2 ，

如果E[A]或E[B]为0，则RXY t1,t2 CXY t1,t2 0，X(t)与Y(t)互不相

关；

如果E[A]与E[B]均不为0，则RXY t1,t2 CXY t1,t2 0，X(t)与Y(t)相关；

综上，X(t)与Y(t)的正交性与互不相关性等价；

③因为随机信号X(t)与Y(t)中都有随机变量Θ，所以X(t)与Y(t)一般不会相互独立。 2.12

2.13 假定正弦电压信号X(t) Acos t ，其中，A服从均匀分布U( 1, 1)，

服从均匀分布U( , )，它们彼此独立。如果信号施加到RC并联电路上，求总的电流信号及其均方值。

题2.13

解：由电路原理的相关知识可知：

总电流I为I

A

cos(wt ) ACwsin(wt )，则 R

A

E[I2] E[(cos(wt ) ACwsin(wt ))2]

RA2A2C2

E[2cos(wt ) sin(2wt 2 ) A2C2w2sin2(wt )]

RR1C2w2 2 3R3

2.14

2.15 零均值高斯信号X(t)的自相关函数为RX( ) 0.5e概率密度。 题2.15

解：(1) 因为mX(t) 0，DX(t) CX(0) RX(0) 0.5，所以一维概率密度函数为：

2

x mX(t)

fX

x,t

2D(t)X

t1 t2

，求X(t)的一维和二维

x2

(2) 高斯信号X(t)的二维概率密度函数为：

X(t1) t1 0 X μ ，t ， ， X(t)t 2 2 0

C(t,t)C(t1,t2) RX(t1,t1)RX(t1,t2) C 11

C(t,t)C(t,t)R(t,t)R(t,t) 2122 X21X22 0.5

0.5exp t1 t2

0.5exp t1 t2

0.5

，

C(ti,tj)为协方差，则

fX x,t

2.16 2.17

2.18 某高斯的均值mX(t) 2，协方差CX(t1,t2) 8cos(t1 t2)，写出当t1 0、

12 C

1/2

xTC 1x exp 2

t2 0.5和t3 1时的三维概率密度。

题2.18

解：由定义得：

C(t1,t1)C(t1,t2)...C(t1,tn)

C(0,0.5)C(0,1) C(0,0)

C(t,t)C(t2,t2)...C(t2,tn) C 21 C(0.5,0)C(0.5,0.5)C(0.5,1)

C(1,0.5)C(1,1) C(1,0)

C(tn,t1)C(tn,t2)...C(tn,tn)

又因为

C(0,0) C(0.5,0.5) C(1,1) 8cos(0) 8 C(0,0.5) C(0.5,1) C(0.5,0) C(1,0.5) 8cos(0.5)

C(0,1) C(1,0) 8cos(1)

设

88cos(1/2)8cos1 X(t1) t1 2

X X(t2) ，t t2 ，μ 2 ，C 8cos(1/2)88cos(1/2)

2 8cos1 X(t) t 8cos(1/2)83 3

则

fX x,t

1

2

3/2

x μ TC 1 x μ

exp 2

2C

2.19 设随机变量 X,Y ~N μ,C ，其中μ ，C

2 2 23

，求 X,Y 的概率 35

密度和特征函数 XY u,v 。 题2.19

解：因为E(X) 2与E(Y) 2，DX 2,DY

5，而 于是，(X,Y)~N2,2;2,5;3/。则 (X，Y)的概率密度函数为

。

x 2 23 x 2 y 2 y 2 2 1

fXY x,y exp{ 5 }

2 55 2

其特征函数为

XY u,v exp 2j u v

1 2u2 6uv 5v2 2

3.1 随机电压信号U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：

（1）密度函数f u;t 、f u1,u2;t1,t2 和f u1,u2,...,uk;t1,t2,...,tk ，k为任意整数； （2）U t 的平稳性。 3.1解：

x2

(1)f(u;t)

4u12 u221

f(u1,u2;t1,t2) f(u1,t1)f(u2,t2) exp{

4 4

k

f(u1,u2, ,uk;t1,t2 ,tk) f(ui,ti)

i 1

u

i 1

k

2

i

4

(2)由于任意k阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的 …… 此处隐藏：3365字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……