随机信号分析(第3版)习题及答案

1. 2. 3. 4. 5. 6.

有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。

（1） 问所选零件为次品的概率是多少？

（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？

解：（1）用Bi表示第i批的所有零件组成的事件，用D表示所有次品零件组成的事件。

1

P B1 P B2 P B3 P B4

4

100

0.052000100

P DB3 0.1

1000P DB1 200

0.4500

100

P DB4 0.1

1000P DB2

1111

P D 0.05 0.4 0.1 0.1 0.1625

4444

（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，

P B2D

P B2 P DB2 PD

0.25 0.4

0.615

0.1625

7. 8.

9. 设随机试验X的分布律为

求X的概率密度和分布函数，并给出图形。 解：f x 0.2 x 1 0.5 x 2 0.3 x

3

F x 0.2u x 1 0.5u x 2 0.3u x 3

10.

11. 设随机变量X的概率密度函数为f(x) ae解：（1）由

x

，求:(1)系数a；（2）其分布函数。

f(x)dx 1

所以a

f(x)dx aedx a

x

edx e xdx 2a

x

1

2

（2）F x

x

f(t)dt

1 t

edt 2

x

所以X的分布函数为

1x

e,x 0 2

F x

1 1 e x,x 0 2

12.

13.

14.

XY

求：（1）X与Y的联合分布函数与密度函数；（2）X与Y的边缘分布律；（3）Z XY的分布律；（4）X与Y的相关系数。（北P181,T3） 解：（1）

F x,y 0.07u x,y 1 0.18u x,y 0.15u x,y 1

0.08u x 1,y 1 0.32u x 1,y 0.20u x 1,y 1

f x,y 0.07 x,y 1 0.18 x,y 0.15 x,y 1

0.08 x 1,y 1 0.32 x 1,y 0.20 x 1,y 1

（2） X的分布律为

P X 0 0.07 0.18 0.15 0.40P X 1 0.08 0.32 0.20 0.60

Y的分布律为

P Y 1 0.07 0.08 0.15P Y 0 0.18 0.32 0.50 P Y 1 0.15 0.20 0.35

（3）Z XY的分布律为

P Z 1 P XY 1 P X 1,Y 1 0.08

P Z 0 P XY 0 P X 0 P X 1,Y 0 0.40 0.32 0.72 P Z 1 P XY 1 P X 1,Y 1 0.20

（4）因为

E X 0 0.40 1 0.60 0.60

E Y 1 0.15 0 0.50 1 0.35 0.20

E XY 1 0.08 0 0.72 1 0.20 0.12

则

Cov X,Y E XY E X E Y 0.12 0.60 0.20 0

X与Y的相关系数 XY 0，可见它们无关。

15.

16. 设随机变量X~N 0,1 ，Y~N 0,1 且相互独立， （1） 随机变量 U,V 的联合概率密度fUV u,v ； （2） 随机变量U与V是否相互独立？ 解：（1）随机变量 X,Y 的联合概率密度为

U X Y

。

V X Y

1 x

fXY x,y e

2

2

y22

, x,y R2

1

12

， 12 2

1u v

x 22

由反函数 ，J

1 y u v

2 2

fUV u,v

1

e4

2

u2 v2

4

, u,v R2

2

1 u

e（2）由于

, 4

v24

u 4 v 4 2

fUV u,v fU u fV v u,v R2

所以随机变量U与V相互独立。 17. 18. 19.

20.

21. 已知对随机变量X与Y，有EX 1，EY 3，D(X) 4，D(Y) 16， XY 0.5，

又设U 3X Y，V X 2Y，试求EU，EV，D(U)，D(V)和Cov(U,V)。 解：首先，

EX2 D(X) (EX)2 5， EY2 D(Y) (EY)2 25。

又因为E(XY) Cov(X,Y) EX EY XYEX EY 7。于是

EU E(3X Y) 3EX EY 6， EV E(X 2Y) EX 2EY 5

D(U) EU2 (EU)2 E(9X2 6XY Y2) (EU)2 76 D(V) EV2 (EV)2 E(X2 4XY 4Y2) (EV)2 52

E(UV) E (3X Y)(X 2Y) E(3X2 5XY 2Y2) 70

Cov(U,V) E(UV) EU EV 40

22. 23.

24. 已知随机变量X服从[0,a]上的均匀分布。随机变量Y服从[X,a]上的均匀分布，试

求

（1） E(YX),(0 X a)； （2） EY

解：（1）对x [0,a]有，E(YX) （2）EY E(E(YX)) E

a X

2

a X 2 a a/23

a

24

25. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N服从泊松分布。进舱后每个粒子造

成损坏的概率为p，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。（北P101,T10） 解：每个粒子是否造成损坏用Xi表示

1,造成损坏

Xi

0,没有造成损害

造成损坏的粒子数Y

i 1,2, ,N

X

i 1

N

i

，于是

E(Y|N n) E( Xi|N n) E Xi|N n

i 1

i 1

nn

可合理地认为N和Xi是独立的，于是

E(Y|X n) E Xi np

i 1

n

E(Y) E E(Y|N) E Np pE N p

26.

27. 随机变量X1,X2,X3彼此独立；且特征函数分别为 1(x), 2(x), 3(x)，求下列随机变量的

特征函数：

（1）X X1 X2； （2）X X1 X2 X3； （3）X X1 2X2 3X3； （4）X 2X1 X2 4X3 10； 解：（1） X(v) E e

jvX

1(v) 2(v)

（2）同（1）， X(v) 1(v) 2(v) 3(v) （3） X(v) E e

jv X1 2X2 3X3

1(v) 2(2v) 3(3v)

ejv10 1(2v) 2(v) 3(4v)

（4） X(v) E e

jv 2X1 X2 4X3 10

28. 随机变量X具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。

（1） (v) 0.2 0.3e

jv

j2v

0.2ej4v 0.2e j2v 0.1e j4v；

jv

（2） (v) 0.3e 0.7e

；

（3） (v) 4/(4 jv)； （4） (v) (sin5v)/(5v)；

解：（1）f x 0.2 x 0.3 x 2 0.2 x 4 0.2 x 2 0.1 x 4

E X (0)/j 2 0.3 4 0.2 2 0.2 4 0.1 0.6

E X2 (0) 22 0.3 42 0.2 2 0.2 4 0.1 6.8

2

2

Var X E X2 E2 X 6.8 0.36 6.44

（2）f x 0.3 x 1 0.7 x 1

E X (0)/j 1 0.3 1 0.7 0.4

E X2 (0) 12 0.3 1 0.7 1

2

Var X E X2 E2 X 1 0.16 0.84

（3）利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，

f x 4e 4xu(x)

1 v 0

41

E X2 (0) 8(4 jv) 3v 0

8111

Var(X) E X2 E2 X 。

81616

sin5v12sin5v

（4） (v) ，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布， 5v10v

E X (0)/j 4(4 jv) 2

1

, 5 x 5

f x 10

0,其他

10225

, E X 0, Var X 123E X2 Var X E2 X

25

。 3

29. 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。 解：由于f(x)是宽度为b a，高度为为

1a b，中心在处的矩形函数。其傅立叶变换b a2

F(v)

2sin v(b a)/2 jv(a b)21

e b av