微分中值定理的推广及应用 毕业论文(3)

证明利用罗尔定理,构造函数

F(x) f(x)ekx

b

.证毕. a

由于f(x)在 a,a 上连续, 在 a,a 内可导,且f( a) f(a) 所以,F( a) F(a) 0,且F(x)在 a,a 上连续,在 a,a 内可导 所以,存在 a,a 使得

F ( ) 0

即f ( ) kf( ) 0.

1在 a,b 上连续;○2在 a,b 内可导; 例4设f(x)满足:○

证明存在 a,b ,使得f ( ) f( ). 证法同例6,令k 1即可证得.

小结如例3,例7中用罗尔定理证明,需要构造出原函数,此类函数有固定的原型

F(x) f(x)eg(x),利用微分中值定理容易得到想要证明的结论.

例5设f(a) f(b) f(c) 3,f(3) 1,f(x)在 0,3 上连续在 0,3 内可导,

a,b,c 0,3 .则有 0,3 使得f ( ) 0.

证明由于f(a) f(b) f(c) 3,且f(x)在 0,3 上连续在 0,3 内可导 所以,必存在k 0,3 使得f(k) f(3) 1 根据罗尔定理,存在 k,3 0,3 使得

微分中值定理毕业论文

f ( ) 0.

12x

arctanx -arcsin 例6证明恒等式:.

21 x22

证明令

12xf(x) arctanx arcsin2 21 x

则

1

f (x) 2

1 x

12

21 x2 4x2

4x

22

1 x1 x

22

0, x 1

所以,f(x)在 1, 为常函数. 又有lim f(x) f(1)

x 1

所以f(x) f(1)

2

,即

12x

arctanx -arcsin

21 x22

成立.

小结函数f(x)在某区间上可导且f (x) 0 f(x)为常函数.

例7设f(x) 0(0 x 1).则存在 (0,1)使得

f ( )f (1 )

. f( )f(1 )

证明变换待证等式为

0 f ( )f(1 ) f( )f (1 )

d

f( )f(1 ) F ( )dx

其中F(x) f(x)f(1 x),显然F(0) f(0)f(1) F(1) 利用罗尔定理即可得