微分中值定理的推广及应用 毕业论文(2)

4.1.3 柯西中值定理的新证法[3] 证明首先构造辅助函数:

X g(x)

Y f(x)

由于g (x) 0,故可知g (x)恒大于零或者恒小于零.否则,由费马定理可知,必存在 a,b 使得g ( ) 0.我们不妨设g (x)恒大于零.于是,对于任意X Xa,Xb ,其中Xc g(c),

c a,b .又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得:Y f(x) f(g 1(X))在闭区间 Xa,Xb 上连续;在开区间 Xa,Xb 内可导,且

df(x)

dg(x)dx

dYdX

X X

dY(x)

dX(x)

x

f (x)

g (x)

x

x

故即是要证明

dYdX

f(g 1(Xb)) f(g 1(Xa)) ,

Xb Xa

X X

因此可构造辅助函数:

f(g 1(Xb)) f(g 1(Xa))

(X) f(g(X)) X

Xb Xa

1

可以验证 (X)满足罗尔定理的条件,故至少存在一个X Xa,Xb ,使得

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dYdX

X X

f(g 1(Xb)) f(g 1(Xa))

Xb Xa

成立.再由

dYdX

dY(x)dX(x)

df(x) dg(x)dx

f (x)g (x)

X X

x

x

x

知,至少存在 a,b 使得

f ( )f(b) f(a)

g( )g(b) g(a)

成立,柯西中值定理得证.

4.2 微分中值定理的推广

几种微分中值定理的推广形式

微分中值定理是微分学的核心内容,而随着其不断地发展和完善,衍生了许多微分中值定理的推广.以下是几种微分中值定理的推广形式: 4.2.1 罗尔定理的推广[4]

定理5 设f(x)在 a,b 内可导,且lim f(x) lim f(x) A,其中A ,则存在 (a,b)

x a

x b

使得f ( ) 0.

证明由于f(x)在 a,b 内可导,则必有f(x)在 a,b 上连续 又有lim f(x) lim f(x) A

x a

x b

1当A 时,对f(x)在a,b两点进行连续延拓,使得f(a) f(b) A ○

则有f(x)在 a,b 上连续,在(a,b)内可导且有f(a) f(b) A 所以,满足罗尔定理的条件,存在 (a,b)使得f ( ) 0. 2当A 时,由于lim f(x) lim f(x) A ○x ax b故存在x1,x2 a,b ,x1 x2,使得f(x1) f(x2)

所以f(x)在 x1,x2 上连续,在(x1,x2)内可导,满足罗尔定理,即存在 (a,b)使得

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f ( ) 0.

综上所述,存在 (a,b)使得f ( ) 0. 拉格朗日中值定理的推广[4]

定理6 设f(x),g(x),h(x)在 a,b 连续,在 a,b 内可导,则存在 (a,b)使得

f(a)g(a)h(a)

f(b)g(b)h(b) 0. f ( )g ( )h ( )

证明作辅助函数

f(a)

H(x) f(b)

f(x)

g(a)h(a)g(b)

h(b), g(x)h(x)

很明显H(x)在 a,b 连续,在 a,b 内可导,且H(a) H(b) 0,则根据罗尔定理有,存在

(a,b)使得H ( ) 0,命题得证.

柯西定理的推广[4]

定理7 f(x),g(x)在 a,b 连续,在 a,b 内可导,任意x (a,b),有g (x) 0.则存在

(a,b)使得

f ( )f( ) f(a)

. g ( )g(b) g( )

证明作一个辅助函数

F(x) f(x) f(a) g(b) g(x) ,

则F(x)在 a,b 连续,在 a,b 内可导,且

F(a) f(a) f(a) g(b) g(a) 0,F(b) f(b) f(a) g(b) g(b) 0

所以F(x)在 a,b 上满足罗尔定理,即存在 (a,b)使得

F ( ) 0.

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因为F (x) f (x) g(b) g(x) g (x) f(x) f(a) , 所以,F ( ) 0 f ( ) g(b) g( ) g ( ) f( ) f(a) ,即得

f ( )f( ) f(a)

. g ( )g(b) g( )4.2.2 拉格朗日中值定理推广[5]

定理8 若f(x)在有限开区间 a,b 内可导,且f(a 0)与f(b 0)存在,则至少存在一点 (a,b)使得

f ( )

f(b 0) f(a 0)

.

b a

1当f(a 0) f(b 0)时,由"罗尔定理的推广[4]"可知,结论成立. 证明○

2当f(a 0) f(b 0)时,作辅助函数 ○

F(x) f(x) f(a 0)

f(b 0) f(a 0)

(x a)

b a

由f(x)在 a,b 内可导知,F(x)在 a,b 内也可导,且

F(a 0) f(a 0) f(a 0)

f(b 0) f(a 0)

(a 0 a) 0

b a

f(b 0) f(a 0)

F(b 0) f(b 0) f(a 0) (b 0 a) 0

b a

根据"罗尔定理的推广[4]"可知,至少存在一点 (a,b)使得F ( ) 0.进而有

F ( ) f ( )

f(b 0) f(a 0)

0,

b a

即

f ( )

综上所述,存在一点 (a,b)使得

f(b 0) f(a 0)

b a

f ( )

f(b 0) f(a 0)

.

b a

柯西定理推广[5]

微分中值定理毕业论文

定理9 若f(x),g(x)在有限或无穷区间 a,b 中的任意一点有有限导数f (x)和g (x),任意x (a,b),g (x) 0,f(a 0),g(a 0),

f(b 0),g(b 0)都存在,则至少存在一点 (a,b)使得

f ( )f(b 0) f(a 0)

. g ( )g(b 0) g(a 0)

证明首先证明g(b 0) g(a 0) 0. 假设g(b 0) g(a 0) 0即g(b 0) g(a 0)

根据"罗尔定理的推广[4]"可知,至少存在一点 (a,b)使得g ( ) 0.与已知条件相互矛盾.其次,作辅助函数

F(x) f(x) f(a 0)

f(b 0) f(a 0)

[g(x) g(a 0)]

g(b 0) g(a 0)

由已知得,f(x)在 a,b 可导且

F(a 0) f(a 0) f(a 0)

f(b 0) f(a 0)

(a 0 a) 0

g(b 0) g(b a)

f(b 0) f(a 0)

(b 0 a) 0

g(b 0) g(a 0)

F(b 0) f(b 0) f(a 0)

所以,F(a 0) F(b 0).根据"罗尔定理的推广[4]",至少存在一点 (a,b)使得F ( ) 0即

f ( )f(b 0) f(a 0)

g ( )g(b 0) g(a 0)

4.2.3 微分中值定理的推广[3]

定理10设函数f1(x),f2(x) ,fn(x)在 a,b 上连续, 在 a,b 内可导,且

fi(a) fi(b),i 1,2, ,n.

则在 a,b 内至少存在一点 ,使得

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fi(b) fi(a)

1 fj ( ) 0. i,j 1 fj(b) fj(a)

n

证明根据题意,设

F(x)

fi(b) fi(a)

1 fj(x) i,j 1 fj(b) fj(a)

n

显然F(x)在 a,b 上连续, 在 a,b 内可导,并且

F(b) F(a)

fi(b) fi(a)

1 [fj(b) fj(a)]

f(b) f(a)i,j 1 j j

n

i,j 1

[f(b) f(a)][f

i

i

n

j

(b) fj(a)] 0

即F(a) F(b),所以由罗尔中值定理可知在 a,b 至少存在一点 使得

fi(b) fi(a)

1 fj ( ) F ( ) 0 f(b) f(a)i,j 1 j j

n

证毕.

当上述式子中n 2时,可得到柯西中值定理;

当上述式子中n 2,f2(x) x时,可得到拉格朗日中值定理.

4.3 微分中值定理的弱逆定理

在一定的附加条件下微分中值定理的弱逆定理成立. 凹凸性的定义:

定义1 若函数曲线位于其每一点处切线的上方(下方),则称函数曲线时下凸(上凸)的,或称函数向下凸(上凸).

定义2 若y f(x)的一阶导数f (x)在 a,b 上单调递增(或递减),则称f(x)在 a,b 是向上凹(下凹)的,或称函数曲线向上凹(下凹).

定理11 (拉格朗日中值定理的弱逆定理) 设f(x)在[a,b]上连续,在 a,b 内可微,若

[6]

f (x)在 a,b 严格单调,则对任意的 a,b ,存在x1 x2使得

f(x2) f(x1) f ( ) x2 x1

成立.