微分中值定理的推广及应用 毕业论文

微分中值定理毕业论文

本科生毕业设计（论文）

学院（系）：专 业：学 生：指导教师：

完成日期 2012 数理学院 数学与应用数学

年 04 月

微分中值定理毕业论文

微分中值定理的证明、推广及应用

数理学院

[摘 要]本文主要阐述了微分中值定理的详细的证明过程以及一些证明的新方法,三大微分中值定理之间的递进关系等,并对中值定理进行了一定地推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、证明不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用

[关键词]微分中值定理；证明；推广；应用

Application of differential mean value theorem proof

Mathematical Institute

Abstract:this article describes more of differential mean value theorem

proving process, as well as some new ways to prove, among three differential mean value theorem to prove, and the mean value theorem for a certain promotion, and specific analysis of differential mean value theorem to prove that equation, proving inequalities as well as discuss the roots of equations of several areas of application

Keywords:differential mean value theoremsfor application；certification；

promotion

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目 录

1 引言…………………………………………………………………………………1 2 微分中值定理的概念………………………………………………………………1 3 微分中值定理普遍的证明方法……………………………………………………1 3.1 费马定理………………………………………………………………………2 3.2 罗尔中值定理…………………………………………………………………3 3.3 拉格朗日中值定理……………………………………………………………4 3.4 柯西中值定理…………………………………………………………………5 4 中值定理的推广……………………………………………………………………5 4.1 关于几个中值定理新的证明方法……………………………………………6 4.2 微分中值定理的推广…………………………………………………………8 4.3 微分中值定理的弱逆定理………………………………………………… 12 5 微分中值定理的应用…………………………………………………………… 14

5.1对微分中值定理进行验证………………………………………………… 14 5.2 利用微分中值定理证明等式和恒等式……………………………………14 5.3 利用微分中值定理证明不等式……………………………………………18 5.4 讨论方程根的存在性……………………………………………………20 结束语………………………………………………………………………………22 参考文献……………………………………………………………………………23 致谢…………………………………………………………………………………23

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1 引言

微分中值定理是包括Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理等一系列基本定理的总称。它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果。从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛。

微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着很重要的作用。因此，微分中值定理构成了整个微分学基础而重要的内容。

2 微分中值定理的概念

所谓微分中值定理,其实是指一个（或多个）函数导数f (x)（或f (x)、g (x)…）与其增量f(b) f(a)（或f(b) f(a)、g(b) g(a)…）之间的等式关系.

通俗的讲,微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.

3 微分中值定理普遍的证明方法[1]

证明微分中值定理时用到的几个概念及条件:

最小值与极小值:(1) 对f(x), x I,若 x0 I使 x I,f(x0) f(x),则f(x0)称为f(x)的最小值.x0为最小值点.

(2) 设f(x)在 x I上有定义,若 x I, 0, x (x0 ,x0 ),f(x) f(x0).则

f(x0)称为f(x)的一个极小值,x0称为极小值点.

limf(x) limg(x)

极限的局部保号性：若x,则 0, x (x0 ,x0 ),f(x) g(x). xx x

函数单调性:在函数f(x)的定义域范围内,

若有x1 x2时,f(x1) f(x2)(f(x1) f(x2))则称f(x)单调递增(严格单调递增). 若有x1 x2时,f(x1) f(x2)f(x1) f(x2),则称f(x)单调递减(严格单调递减).

3.1 费马定理

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定理1 设f(x)在区间K有定义.若x0是函数f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则

f (x) 0.

费马定理的几何意义:若将函数f(x)的曲线置于平面直角坐标系XOY,则费马定理具有几何意义:对曲线y f(x)上,若有一点(x0,f(x0))存在切线,且x0为f(x)极值点.则这一点处的切线平行于x轴.

证法只需证明

f (x0) lim

x x0

f(x) f(x0)

0.

x x0

证明:x0为f(x)的极值点.不妨设x0为极小值点,则

0, x (x0 ,x0 ),有f(x0) f(x).

若x x0,则

f(x) f(x0)

0;

x x0

f(x) f(x0)

0; 若x x0,则

x x0

取极限:lim

x x0

f(x) f(x0)f(x) f(x0)

与lim-分别为T、S

x xx x0x x00

f(x) f(x0)

.

x x0

由于f(x)在x0处可导,则T=S=limx x

由极限的局部保号性有:T 0, S 0. 故T=S=0

.

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所以有lim

x x0

f(x) f(x0)

0即f (x0) 0

x x0

3.2 罗尔中值定理

定理2设f(x)满足:

(1) 在闭区间 a,b 上连续; (2) 在开区间 a,b 内可导; (3) f(a) f(b); 则至少存在一点 (a,b)使得

f ( ) 0.

罗尔定理的几何意义:若f(x)满足罗尔定理的条件,则在曲线y f(x)上至少存在一点P( ,f( )),使得点P处的切线平行于x轴(如图)

其中A(a,f(a)),B(b,f(b))

证法f(x)在开区间 a,b 内存在一极值点( ,f( )). 证明由于在闭区间上连续,从而存在最大值M,最小值m.

若M m则对 x a,b 有f(x) M m,即f(x)为常函数,所以f (x) 0.

若M m,由于f(a) f(b).M与m不同时为区间的端点,不妨设M f(a) f(b),

所以

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M必为f(x)的极大值点.又有M (a,b)且f(x)在 a,b 内可导,有费马定理,存在一点

M,使得

f ( ) 0

证毕.

3.3 拉格朗日中值定理

定理3 若函数f(x)满足:

(1) 在闭区间 a,b 上连续; (2) 在开区间 a,b 内可导;

则至少存在一点 (a,b)使得

f ( )

f(b) f(a)

.

b a

拉格朗日定理的几何意义:如图所示,过A(a,f(a)),B(b,f(b))两点的直线斜率

KAB

f(b) f(a)

,而拉格朗日定理则表明了存在于曲线上的A,B两点某点的切线必定

b a

平行于直线AB.

证法利用罗尔中值定 …… 此处隐藏：2789字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……