复变函数与积分变换(马柏林)课后的习题答案(6)

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z 1 1 dz ( 1)n z 2 n dz ( 1) n z 2 n 1 , z 1 2 0 1 z 2n 1 n 0 n 0

(4)1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( z 1)( z 2) z 1 z 2 z 2 3 z 2 4 3 1 z 2 4 1 z 2 3 4 1 z 2 n 1 z 2 n ( 1) n ( ) ( 1) n ( ) 3 n 0 3 4 n 0 4 ( 1) n (n 0

2 6 z 2 1 f ( z ) , f (1) 2 3 (1 z ) 2 f ( z ) 24 z 24 z 3 , f (1) 0 (1 z 2 ) 4

1 1 )( z 2) n , 3n 1 4n 1

z 2 3

f (4) ( z )

24 240 z 2 120 z 4 (4) , f (1) 0 (1 z 2 )5

(5)因为从 z 1 沿负实轴 ln(1 z ) 不解析 所以,收敛半径为 R=1

于是， f ( z ) 在 z 1处的泰勒级数为1 1 1 1 3 ( z 1) ( z 1)2 ( z 1)4 ..., R 2 2 1 z 2 2 4 4!

[ln(1 z )]

1 ( 1) n z n 1 z n 0 1 z n dz ( 1) n z n 1 , z 1 n n 0

15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其 收敛性. (1) 2 z 3 分别在 z 0 和 z 1处 (2) sin z 在 z 0 处3

ln(1 z )

z

0

( 1)n 0

n

1

16.为什么区域 z R 内解析且在区间 ( R, R) 取实 数值的函数 f ( z ) 展开成 z 的幂级数时，展开式的系 数都是实数？ 答：因为当 z 取实数值时， f ( z ) 与 f ( x) 的泰勒级

(3) arctan z 在 z 0 处 (4) ( z 1)( z 2) 在 z 2 处 (5) ln(1 z ) 在 z 0 处 解 (1)1 1 1 1 1 2 3 ( z )n , z 2 2z 3 3 2z 3 1 z 3 n 0 3 2 3 1 1 1 1 1 2n ( z 1) n , z 1 2 z 3 2 z 2 1 2( z 1) 1 1 2( z 1) 2 n 0

z

数展开式是完全一致的，而在 x R 内， f ( x) 的展 开式系数都是实数。所以在 z R 内， f ( z ) 的幂级 数展开式的系数是实数. 17.求 f ( z ) z 2 z

2 的以 z 0 为中心的各个圆 环域内的罗朗级数. 解 : 函 数 f ( z ) 有 奇 点 z1 1 与 z2 2 , 有 三 个 以

2z 1

( 1) z z sin z z 2 n 1 z ... (2) 3! 5! n 0 (2n 1)! n 3 5

z 0 为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为：在 z 1 内，f ( z ) 2z 1 1 1 1 z = z n ( 1) n ( ) n z2 z 2 z 1 z 2 2 n 0 2 n 0

sin 3 z

3 32 n 1 2 n 1 ( 1) n z , z 4 n 0 (2n 1)!z

1 arctan z dz 0 1 z2 (3) z i 为奇点， R 1

(( 1) n n 0

1 1) z n 2n 1

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