复变函数与积分变换(马柏林)课后的习题答案(2)

Re( z ) x x iy 有 解：设 z=x+yi,则 zlim Re( z ) x 1 lim z 0 x 0 z x ikx 1 ik y kx 0

解：因为

x3 y x x3 y 0 4 2 2 x y 2 2x y

,

x3 y 0 f (0) ( x , y ) (0,0) x y 2 所以 lim4

所以 f(z)在整个 z 平面连续. 5. 下列函数在何处求导？并求其导数.n 1 (1) f ( z ) ( z 1)

显然当取不同的值时 f(z)的极限不同 所以极限不存在.limz i

(3) 解l

z i z (1 z 2 ) ;

(n 为正整数);

解： 因为 n 为正整数， 所以 f(z)在整个 z 平面上可导. :

z i

z i z i 1 1 lim lim i 2. z ( z 2 = z i z (i z )( z i) z i z (i z )limz 1

f ( z ) n( z 1)n 1 .1z 2 f ( z) ( z 1)( z 2 1) . (2)

m

)

(4)

zz 2 z z 2 z2 1 .

2 解： 因为 f(z)为有理函数， 所以 f(z)在 ( z 1)( z 1) 0

zz 2 z z 2 ( z 2)( z 1) z 2 , z2 1 ( z 1)( z 1) z 1 解：因为limz 1

处不可导. 从而 f(z)除 z 1, z i 外可导.f ( z ) 5 / 24

所以

zz 2 z z 2 z 2 3 lim 2 z 1 z 1 z 1 2.

( z 2) ( z 1)( z 2 1) ( z 1)[( z 1)( z 2 1)] ( z 1)2 ( z 2 1)2 2 z 3 5 z 2 4 z 3 ( z 1)2 ( z 2 1)2

复变函数与积分变换 复旦大学出版社

复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)

f ( z)

(3)

3z 8 5z 7 .

从而 f(z)在 2 x 3 y 0 处可导，在全平面不解析.z= 7 5

解 ： f(z) 除f ( z )

外 处 处 可 导 ， 且

2 (4) f ( z ) z z .

3(5z 7) (3z 8)5 61 2 (5z 7) (5z 7)2 . x y x y i 2 2 2 x y x y2 .

解：设 z x iy ,则

f ( z ) ( x iy) ( x iy)2 x3 xy 2 i( y 3 x 2 y)f ( z)

(4) 解：因为f ( z)

u( x, y) x3 xy 2 , v( x, y) y 3 x 2 y u 3x 2 y 2 , x u 2 xy, y v 2 xy, x v 3 y 2 x2 y

x y i( x y ) x iy i( x iy ) ( x iy )(1 i) z (1 i) 1 i 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 z z

.

所以 f(z)除 z=0 外处处可导，且 6. 试判断下列函数的可导性与解析性.2 2 (1) f ( z ) xy ix y ;

f ( z )

(1 i) z2 .

所以只有当 z=0 时才满足 C-R 方程. 从而 f(z)在 z=0 处可导，处处不解析. 7. 证明区域 D 内满足下列条件之一的解析函数必为 常数. (1) f ( z ) 0 ; u u v v 0 0 证明：因为 f ( z ) 0 ,所以 x y , x y .

2 2 解： u ( x, y ) xy , v( x, y ) x y 在全平面上可微.

y y2 , x

u 2 xy, y

v 2 xy, x

v x2 y

所以 u,v 为常数，于是 f(z)为常数. (2) f ( z ) 解析. 证明：设 f ( z ) u iv 在 D 内解析,则 u ( v) u v x y x y u ( v) v y x y u v , x y u v y x

所以要使得 u v u v x y , y x ,

只有当 z=0 时, 从而 f(z)在 z=0 处可导，在全平面上不解析.2 2 (2) f ( z ) x iy . 2 2 解： u ( x, y) x , v( x, y) y 在全平面上可微.

u 2 x, x

u 0, y

v 0, x

v 2y y

u v u v y . 只有当 z=0 时,即(0,0)处有 x y , y

u u , x y 而 f(z)为解析函数，所以 v v , x 所以 x

u v y x

v v u u v v , 0 y y 即 x y x y

所以 f(z)在 z=0 处可导，在全平面上不解析.3 3 (3) f ( z ) 2 x 3iy ; 3 3 解： u ( x, y) 2 x , v( x, y) 3 y 在全平面上可微.

从而 v 为常数，u 为常数，即 f(z)为常数. (3) Ref(z)=常数. u u 0 证明：因为 Ref(z)为常数，即 u=C1, x y u u 0 因为 f(z)解析， C-R 条件成立。 x y 故 即 u=C2

u 6 x2 , x

u 0, y

v 9 y2 , x

v 0 y

所以只有当 2 x 3 y 时，才满足 C-R 方程.

从而 f(z)为常数. (4) Imf(z)=常数.6 / 24

复变函数与积分变换 复旦大学出版社

复变函数与积分变换(修订版)课后答案(复旦大学出版社)

v v 0 证明：与(3)类似，

由 v=C1 得 x y

u u 0 因为 f(z)解析，由 C-R 方程得 x y ,即 u=C2

m,n,l 的值. 解：因为 f(z)解析，从而满足 C-R 条件. u u 2nxy, 3my 2 nx 2 x y v 3x 2 ly 2 , x u v n l x y u v n 3, l 3m y x v 2lxy y

所以 f(z)为常数. 5. |f(z)|=常数. 证明：因为|f(z)|=C,对 C 进行讨论. 若 C=0,则 u=0,v=0,f(z)=0 为常数.2 若 C 0, f(z) 0,但 f ( z ) f ( z ) C , u2+v2=C2 则 即

则两边对 x,y 分别求偏导数，有 u v u v 2u 2v 0, 2u 2v 0 x x y y 利用 C-R 条件，由于 f(z)在 D 内解析，有 u v u v x y y x v u u x v x 0 v u u v 0 x 所以 x

所以 n 3, l 3, m 1 . 9. 试证下列函数在 z 平面上解析，并求其导数. (1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i 证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3 在全平面可微, 且 u 3x 2 3 y 2 , x u 6 xy, y v 6 xy, x v 3x 2 3 y 2 y

u 0, 所以 x

v 0 x

所以 f(z)在全平面上满足 C-R 方程， 处处可导，处处 解析.f ( z) u v i 3x2 3 y 2 6 xyi 3( x2 y 2 2 xyi) 3z 2 x x

即 u=C1,v=C2,于是 f(z)为常数. (6) argf(z)=常数. v arctan C u 证明：argf(z)=常数，即 ,(v / u ) 1 (v / u ) 2 于是 u 2 (u v u 2 v u v ) u (u v ) y y x x 0 u 2 (u 2 v 2 ) u 2 (u 2 v 2 )

x x .(2) f ( z ) e ( x cos y y sin y) ie ( y cos y x sin y ) .

证明：u( x, y) e x ( x cos y y sin y), v(x, y)=e x ( y cos y x sin y)

处处可微，且 u e x ( x cos y y sin y) e x (cos y) e x ( x cos y y sin y cos y) x

得 u v u x v x 0 v u v u 0 y y u v u x v x 0 u v v u 0 x x

u e x ( x sin y sin y y cos y) e x ( x sin y sin y y cos y) y v e x ( y cos y x sin y) e x (sin y) e x ( y cos y x sin y sin y) x

C-R 条件→

v e x (cos y y( sin y) x cos y) e x (cos y y sin y x cos y) y

u v 所以 x y ,

u v y x

所以 f(z)处处可导，处处解析.f ( z ) u v i e x ( x cos y y sin y cos y ) i(e x ( y cos y x sin y sin y)) x x e x cos y ie x sin y x(e x cos y ie x sin y) iy(e x cos y ie x sin y) e z xe z iye z e z (1 z )

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